[論文レビュー] One-dimensional random attractor and rotation number of the stochastic damped sine-Gordon equation

Zhongwei Shen, Shengfan Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ノイマン境界条件を満たす確率的減衰サインゴンドール方程式に対して、1次元の確率的アトラクターおよび回転数の存在を確立する。十分に大きな減衰係数および拡散係数の下では、アトラクターは1次元の水平曲線となる。これは、ノイズの強度にかかわらず非カオス的ダイナミクスおよび周波数ロックインを示し、確率的力学系およびエルゴディック理論の分析によって裏付けられる。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of the asymptotic dynamics of the stochastic damped sine-Gordon equation with homogeneous Neumann boundary condition. It is shown that for any positive damping and diffusion coefficients, the equation possesses a random attractor, and when the damping and diffusion coefficients are sufficiently large, the random attractor is a one-dimensional random horizontal curve regardless of the strength of noise. Hence its dynamics is not chaotic. It is also shown that the equation has a rotation number provided that the damping and diffusion coefficients are sufficiently large, which implies that the solutions tend to oscillate with the same frequency eventually and the so called frequency locking is successful.

研究の動機と目的

• 同調境界条件の下で確率的減衰サインゴンドール方程式に対する確率的アトラクターの存在を確立すること。
• 大きな減衰係数および拡散係数の下での、確率的アトラクターの構造、特に次元の分析。
• 減衰係数および拡散係数が十分に大きい場合に、系に回転数の存在を証明すること。
• 系が周波数ロックインを示し、解が共通の漸近的周波数で振動することを示すこと。
• ノイマン境界条件を満たす確率的非線形波動方程式における散逸的かつ非カオス的ダイナミクスの理解を拡張すること。

提案手法

• 加法的ノイズおよびノイマン境界条件を伴う有界領域上での確率的減衰サインゴンドール方程式の形式化。
• 確率空間上のウィENER過程およびスケイプ積フローを用いた確率的力学系の構築。
• エルゴディック理論および不変測度を用いた長期的挙動の分析と回転数の存在の証明。
• 位相空間とシングルトン集合の空間との間のホメオモールフィズムを用いて、問題を1次元回転数の枠組みに還元すること。
• ビrkhoffのエルゴディック定理および不変測度論を用いて、振動の漸近的周波数を導出すること。
• 減衰係数および拡散係数が大きい場合に、アトラクターが水平曲線であることを示すことにより、その1次元性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイマン境界条件を満たす確率的減衰サインゴンドール方程式は、任意の正の減衰係数および拡散係数に対して確率的アトラクターを有するか？
• RQ2 ノイズ強度にかかわらず、減衰係数αおよび拡散係数Kが十分に大きいと、確率的アトラクターは1次元の水平曲線に縮退する条件は何か？
• RQ3 減衰係数および拡散係数が十分に大きい場合に、系は明確に定義された回転数を有するか？
• RQ4 確率的設定において周波数ロックインを確立できるか？これは振動周波数の漸近的同期を示唆する。
• RQ5 減衰係数および拡散係数の増加に伴い、アトラクターの構造はどのように変化するか？これはカオス的挙動に何を示唆するか？

主な発見

• 任意のα > 0およびK > 0に対して、ノイマン境界条件を満たす確率的減衰サインゴンドール方程式は確率的アトラクターを有する。
• 減衰係数αおよび拡散係数Kが十分に大きい場合、確率的アトラクターは1次元の確率的水平曲線となり、非カオス的ダイナミクスを示す。
• 減衰係数および拡散係数が十分に大きい場合、系は明確に定義された回転数ρ ∈ ℝを有し、漸近的周波数ロックインを示す。
• 回転数はノイズ強度に依存せず、不変測度が一意でない場合でも一意的である。
• 振動の漸近的周波数は、ほとんどすべてのωおよび初期条件Y₀に対して、lim_{t→∞} PY(t,ω,Y₀)/t = ρη₀ で特徴づけられる。
• アトラクターの1次元性および回転数の存在は、強い減衰および拡散下での複雑またはカオス的ダイナミクスの不在を確認する。