[論文レビュー] One-dimensional swimmers in viscous fluids: dynamics, controllability, and existence of optimal controls

Gianni Dal Maso, Antonio DeSimone+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Micro and Nano Robotics参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、粘性流体中における1次元泳ぐ物体の運動の存在および一意性を、抵抗力理論に基づいて確立し、基本的な運動（並進、回転、まっすぐな形に直すこと）の構成的合成による可動性の証明を行い、エネルギー的コストを最小化する最適制御の存在を示している。結果は、形状駆動ダイナミクスのための常微分方程式と、最適制御のための変分法によって得られている。

ABSTRACT

In this paper we study a mathematical model of one-dimensional swimmers performing a planar motion while fully immersed in a viscous fluid. The swimmers are assumed to be of small size, and all inertial effects are neglected. Hydrodynamic interactions are treated in a simplified way, using the local drag approximation of resistive force theory. We prove existence and uniqueness of the solution of the equations of motion driven by shape changes of the swimmer. Moreover, we prove a controllability result showing that given any pair of initial and final states, there exists a history of shape changes such that the resulting motion takes the swimmer from the initial to the final state. We give a constructive proof, based on the composition of elementary maneuvers (straightening and its inverse, rotation, translation), each of which represents the solution of an interesting motion planning problem. Finally, we prove the existence of solutions for the optimal control problem of finding, among the histories of shape changes taking the swimmer from an initial to a final state, the one of minimal energetic cost.

研究の動機と目的

• 慣性効果を無視し、抵抗力理論を用いて、1次元の泳ぐ物体の運動をモデル化・解析すること。
• 所定の形状変化によって駆動される運動方程式の解の存在および一意性を確立すること。
• 可動性の証明：任意の初期状態と終了状態が与えられたとき、それらの間を移動できる形状軌道が存在することを示すこと。
• 時間間隔における消費エネルギーを最小化する、エネルギー的に最適な泳ぎ方の存在を示すこと。
• 直線化、逆方向の直線化、回転、並進といった基本的な運動を用いた、構成的運動計画手法の提供。

提案手法

• 泳ぎ手を弧長でパラメータ化された1次元の体とみなし、形状の時間変動関数 ξ(s,t) でその形状変化を記述する。
• 全運動 χ(s,t) = r(t) ◦ ξ(s,t) を定義し、r(t) を実験フレームにおける剛体運動（並進と回転）とする。
• ゼロの合計粘性力およびモーメントを課すことにより運動方程式を導出し、形状関数 ξ(s,t) で表される r(t) の常微分方程式系を得る。
• ξ(s,t) に正則性条件を課したもとで、標準的な常微分方程式理論を用いて r(t) の解の存在および一意性を証明する。
• 基本的な運動（直線化、逆方向の直線化、回転、並進）に分解することで、構成的に可動性を証明する。各運動は別個の運動計画問題として解かれる。
• パワー関数 functional P(χ) = ∫∫ ⟨Kχ ˙χ, ˙χ⟩ ds dt に変分法を適用し、弱収束およびコンパクト埋め込みを用いて極限に移行し、適切な関数空間内での最小化子の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性流体中で、形状変化の時間履歴が所与の1次元泳ぎ手の運動が、一意に決定可能か？
• RQ2 慣性が無視できるものと仮定したもとで、任意の初期状態から任意の終了状態へ形状変化のみで制御可能か？
• RQ3 2つの与えられた状態を結ぶすべての形状軌道の中から、エネルギー的に最適な泳ぎ方（パワーを最小化するもの）が見つけられるか？
• RQ4 運動方程式の適切な定式化を保証するための形状関数の最小限の正則性条件は何か？
• RQ5 運動計画問題を、全体の可動性を達成するために解ける基本的な運動に分解する方法は何か？

主な発見

• 形状変化が所与の1次元泳ぎ手の運動は、常微分方程式系によって一意に決定され、適切なダイナミクスが保証される。
• 可動性は構成的に確立されている：任意の初期状態から終了状態への移動が、直線化、逆方向の直線化、回転、並進の基本運動の合成によって達成可能である。
• パワーを最小化する最適制御問題は、半径 ρ の外部ディスク条件を満たす H1 関数空間内に解をもつ。
• パワー関数の最小化列は、H1(0,T;L2(0,L)) 内で弱収束し、各時刻において C1([0,L]) 内で強収束する。これにより、力およびモーメントのバランス方程式における極限への移行が可能になる。
• 極限関数は力およびモーメントのバランス条件を満たし、パワー関数を最小化する。これにより、最適な泳ぎ方の存在が証明される。
• パワー関数は Cτ 倍の速度の L2 範囲によって下から有界であり、Ioffe-Olech の下半連続性定理およびコンパクト埋め込みを用いて最小化子の存在が確立される。