[論文レビュー] One sided extendability and p-continuous analytic capacities

E. Bolkas, Vassili Nestoridis+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンパクト集合 $L \subset \mathbb{C}$ に対する $p$-連続解析的容量 $a_p(L)$ を導入し、古典的な連続解析的容量を一般化する。複素解析、バナッハ・カテゴリー論、正則拡張の性質を用いて、解析的または滑らかな曲線および領域上の $C^k(\gamma)$ および $A^p(\Omega)$ 空間において、片側拡張可能性と実解析的性質が一般にまれな現象であることを示す。主な貢献は、$a_p(L)$ を用いた可縮特異点の特徴付けであり、$a_p(L) = 0$ ならば $A^p(U \setminus L)$ 内の関数の一般的非拡張可能性を示している。

ABSTRACT

Using complex methods combined with Baire's Theorem we show that one-sided extendability, extendability and real analyticity are rare phenomena on various spaces of functions in the topological sense. These considerations led us to introduce the p-continuous analytic capacity and variants of it, $p \in \{ 0, 1, 2, \cdots \} \cup \{ \infty \}$, for compact or closed sets in $\mathbb{C}$. We use these capacities in order to characterize the removability of singularities of functions in the spaces $A^p$.

研究の動機と目的

• 曲線および領域上の滑らかで解析的関数空間における片側拡張可能性と実解析的性質の位相的まれさを調査すること。
• 可縮特異点を特徴付けるために、$a_p(L)$ を定義し、古典的連続解析的容量の一般化として研究すること。
• 曲線または境界にやや滑らかな仮定を課した場合、$C^k(\gamma)$ および $A^p(\Omega)$ において、拡張可能性と実解析的性質が一般にまれな現象であることを確立すること。
• 境界点における局所的拡張可能性とグローバルな正則拡張可能性を結びつけること、特に $L$ が空内部を持つ場合に注目すること。
• 二分法的結果を提示する：$A^p(U \setminus L)$ 内のすべての関数が点で拡張可能であるか、一般にどれも拡張不可能であるかは、$a_p(L)$ に依存する。

提案手法

• 正則拡張を関数空間で分析するために、ポisson積分公式とモンテルの定理を含む複素解析的手法を用いる。
• バナッハのカテゴリーサブスクリプトを用いて、$A^p(U \setminus L)$ 内で非拡張可能な関数の集合が $G_\delta$ 稠密集合であることを示し、一般的非拡張可能性を示す。
• $a_0(L)$ の一般化としての $p$-連続解析的容量 $a_p(L)$ を導入し、特定のカントール型集合では $a_1(L) \neq a_0(L)$ であることを示す。
• 拡張可能性問題を局所化し、バナッハの定理を適用するため、可算個のジョルダン領域 $G_n$ の族を構成する。
• オスヴァルト＝カラテオドリの定理と境界正則性を用いて、解析的領域から滑らかまたはジョルダン曲線への結果の拡張を行う。
• 境界点での局所的拡張可能性とグローバル正則拡張の等価性を分析し、$L^\circ = \emptyset$ であるときかつそのときに限り成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線上の関数の片側拡張可能性は、$C^k(\gamma)$ や $A^p(\Omega)$ 空間において、一般的であるか、まれな現象であるか？
• RQ2 $p$-連続解析的容量 $a_p(L)$ は、$A^p(U \setminus L)$ 内の関数に対する特異点の可縮性をどのように特徴付けるか？
• RQ3 境界点 $z_0$ における拡張可能関数の集合が、$A^p(U \setminus L)$ 内ですべての関数であるか、一般にそうであるかの条件は何か？
• RQ4 $a_p(L) = 0$ は、すべての $z_0 \in L$ および $r > 0$ に対して $a_p(L \cap \overline{D(z_0,r)}) = 0$ と同値か？
• RQ5 $a_p(L) = 0$ ならば、$A^p(U \setminus L)$ 内のすべての $f$ が $U$ に正則に拡張可能であるか、特に $L^\circ = \emptyset$ のとき成り立つか？

主な発見

• 曲線 $\gamma$ が $C^k$ 局所的単射である限り、$k \in \{0,1,2,\dots\} \cup \{\infty\}$ の $C^k(\gamma)$ において、片側拡張可能性と実解析的性質は一般にまれな現象である。
• $a_p(L)$ が導入され、$a_0(L) > 0$ であっても $a_1(L) = 0$ であることが示された。$K_{1/3} \times K_{1/3}$ の例（$K_{1/3}$ はカントール集合）で確認された。
• $L$ がコンパクトで内部が空である場合、すべての $z_0 \in \partial L$ で局所的拡張可能であることは、$f \in A^p(U \setminus L)$ のグローバル正則拡張の存在と同値である。
• $A^p(U \setminus L)$ 内で点 $z_0$ で拡張可能な関数の集合は、$a_p(L) = 0$ かどうかに応じて、すべての関数であるか、$G_\delta$ 稠密集合である。
• $a_p(L) = 0$ ならば、$A^p(U \setminus L)$ 内の非拡張可能関数の集合は $G_\delta$ かつ稠密であり、一般的非拡張性を示している。
• $p=1$ のとき、$a_0(L) > 0$ であっても $a_1(L) = 0$ であるため、$a_1$ は $a_0$ よりも厳密に強い可縮性条件であることが示された。