[論文レビュー] One-W-type modules for rational Cherednik algebra and cuspidal two-sided cells

Dan Ciubotaru|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限ワイル群 W に対して、W に制限したときに既約であるような、有理チャレドニク代数 H_{0,c} の単純加群を分類し、特にディラックコホモロジーと one-W 型加群を用いて、ルシュチッグのカスピダル二面体細胞と、CM 空間 X_c(W) を通じたカロゲロ・モーザー細胞の直接的な関係を確立する。B_n、D_n、G_2、F_4、E_6、E_8（E_7 を除く）のワイル群に対して、カスピダル族は X_1(W) の原点上のファイバーに含まれており、E_8 と E_7 に対しては明確な包含関係が得られている。

ABSTRACT

We classify the simple modules for the rational Cherednik algebra that are irreducible when restricted to W, in the case when W is a finite Weyl group. The classification turns out to be closely related to the cuspidal two-sided cells in the sense of Lusztig. We compute the Dirac cohomology of these modules and use the tools of Dirac theory to find nontrivial relations between the cuspidal Calogero-Moser cells and the cuspidal two-sided cells.

研究の動機と目的

• 有限ワイル群に対して、W-加群として既約である H_{0,c}-加群を分類すること。
• 有理チャレドニク代数において、ルシュチッグのカスピダル二面体細胞（Lusztig）と、CM 空間 X_c(W) を通じたカロゲロ・モーザー細胞（Calogero-Moser cells）の関係を理解すること。
• ディラックコホモロジーの技法を用いて、表現論における二つの分割構造（カロゲロ・モーザー細胞分割と二面体細胞分割）の非自明な関係を確立すること。
• 例外的および古典的ワイル群に共通して適用可能な、one-W 型加群とディラック理論を用いた一様な手法を提供すること。
• E_8 や E_7 のような場合に、カロゲロ・モーザー分割と二面体細胞分割が一致するとする予想を支持すること。

提案手法

• 論文は、t=0 における有理チャレドニク代数のディラック作用素とディラックコホモロジーを用い、[Ci] および [BCT] の構成を拡張する。
• 表現論的解析と特徴分解を用いて、one-W 型加群（W-加群として既約な H_{0,c}-加群）を分類する。
• この手法は、W-表現と外積代数 ∧h のテンソル積へのディラック作用素の作用を計算することに依存し、既知の分解則を用いる。
• [Go] における写像 Θ: Irr(W) → X_1(W) を用い、原点上のファイバーを分析する。
• 各ワイル群に対して、関連するカスピダル表現 σ に対して σ ⊗ ∧h の分解に現れる W-型を確認する。
• a(F) = a(F⊗sgn) であることから、符号変換による対称性を用い、σ(Ω_{W,1}) = 0 の条件により、どの族が Θ^{-1}(0) に含まれるかを制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限ワイル群 W に対して、有理チャレドニク代数 H_{0,1} が one-W 型加群をもつのか。
• RQ2 ルシュチッグの意味での W のカスピダル二面体細胞は、写像 Θ: Irr(W) → X_1(W) のファイバーとどのように関係するか。
• RQ3 ディラックコホモロジーの技法は、カロゲロ・モーザー細胞分割と二面体細胞分割の間の非自明な関係を検出できるか。
• RQ4 どの場合にファイバー Θ^{-1}(0) がカスピダル族を完全に含み、また、それが厳密に大きいか、小さいか。
• RQ5 この手法は、非等価パラメータや、議論された場合を除く複素反射群へと拡張可能か。

主な発見

• H_{0,1} の one-W 型加群が存在するのは、W がカスピダル二面体細胞を持つ場合に限るが、W = E_7 の場合を除く。E_7 はカスピダル族を持つが、one-W 型加群は存在しない。
• W = B_n, D_n, G_2, F_4, E_6 に対して、カスピダル族 F_cusp(W) は Θ^{-1}(0) に含まれており、G_2, F_4, E_6 では等号が成り立つ。
• W = E_8 に対しては、カスピダル族 F_cusp(E_8) から 4480_y を除いたものが Θ^{-1}(0) に含まれており、逆に Θ^{-1}(0) は F_cusp(E_8) ∪ {2100_y} に含まれる。
• W = E_7 に対しては、ファイバー Θ^{-1}(Θ(512_a')) には 512_a' と 512_a のみが含まれており、これらがカスピダル族 F_cusp(E_7) を完全に構成する。
• 直接分類が失敗する E_7 のような場合でも、ディラックコホモロジーと one-W 型加群を用いた手法により、非自明な包含関係が得られる。
• 非等価パラメータの場合、この手法により非自明なカスピダルカロゲロ・モーザー細胞が構成される。例えば F_4 において、{4_1, 6_1, 6_2, 16_1, 12_1} は、すべての有限個を除くパrameter 値に対して Θ^{-1}(0) に含まれる。