[論文レビュー] Online Algorithms for Multi-Level Aggregation

Marcin Bieńkowski, Martin Böhm+8 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 37被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、任意の固定深さ D を持つ木におけるマルチレベル集約問題（MLAP）の、最初の定数競合比を達成するオンラインアルゴリズムを提示する。競合比は O(D⁴2^D) である。アルゴリズムは、デッドラインを含む任意の待機コスト関数を扱える。そのために、時間軸のスケーリングに対して不変なシミュレーション技術を導入し、左連続コスト関数を連続関数に還元することで、変換されたインスタンス上で既存のオンライン戦略を適用可能にするとともに、競合比を保持する。

ABSTRACT

In the Multi-Level Aggregation Problem (MLAP), requests arrive at the nodes of an edge-weighted tree T, and have to be served eventually. A service is defined as a subtree X of T that contains its root. This subtree X serves all requests that are pending in the nodes of X, and the cost of this service is equal to the total weight of X. Each request also incurs waiting cost between its arrival and service times. The objective is to minimize the total waiting cost of all requests plus the total cost of all service subtrees. MLAP is a generalization of some well-studied optimization problems; for example, for trees of depth 1, MLAP is equivalent to the TCP Acknowledgment Problem, while for trees of depth 2, it is equivalent to the Joint Replenishment Problem. Aggregation problem for trees of arbitrary depth arise in multicasting, sensor networks, communication in organization hierarchies, and in supply-chain management. The instances of MLAP associated with these applications are naturally online, in the sense that aggregation decisions need to be made without information about future requests. Constant-competitive online algorithms are known for MLAP with one or two levels. However, it has been open whether there exist constant competitive online algorithms for trees of depth more than 2. Addressing this open problem, we give the first constant competitive online algorithm for networks of arbitrary (fixed) number of levels. The competitive ratio is O(D^4*2^D), where D is the depth of T. The algorithm works for arbitrary waiting cost functions, including the variant with deadlines. We include several additional results in the paper. We show that a standard lower-bound technique for MLAP, based on so-called Single-Phase instances, cannot give super-constant lower bounds (as a function of the tree depth). This result is established by giving an online algorithm with optimal competitive ratio 4 for such instances on arbitrary trees. We also study the MLAP variant when the tree is a path, for which we give a lower bound of 4 on the competitive ratio, improving the lower bound known for general MLAP. We complement this with a matching upper bound for the deadline setting.

研究の動機と目的

• 深さが 2 を超える木におけるMLAPの定数競合比オンラインアルゴリズムが存在するかどうかという未解決問題を解消すること。
• デッドラインを含む任意の待機コスト関数に対応できる一般化されたオンラインアルゴリズムを開発すること。
• 左連続待機コスト関数を含むインスタンスを、競合比を損なわずに同等の連続関数への還元技術を確立すること。
• 従来の下界の導出に用いられる「シングルフェーズインスタンス」が、木の深さの関数として非定数下界を生じさせないことを示すこと。
• パスバリアント（深さ2の木）におけるMLAPのタイトな境界を提供し、デッドライン設定下で下界4および一致する上界を示すこと。

提案手法

• オンラインアルゴリズムにスケール不変性（ストレッチインヴァリアンス）を導入し、挿入されたギャップ区間による時間軸のスケーリングに対してその振る舞いに影響が出ないことを保証する。
• 不連続点に定数値区間を挿入することで、左連続待機コスト関数を連続関数に変換する変換を構築する。
• 連続コストを持つ変換インスタンス上でアルゴリズム A をシミュレートし、時間シフトを用いたシミュレーションにより元のインスタンスと整合性を保つ。
• シミュレートされたアルゴリズム B が、元のインスタンス上で、A の競合比 R を保持することを証明する。これはコスト保存性とスケジュール同等性に起因する。
• OnlTree アルゴリズムをベースとし、ストレッチインヴァリアント変換により左連続コストに対応可能に拡張する。
• MLAP-D（デッドラインあり）の変種を、デッドラインを超えた待機コストに無限大を割り当て、それらを大きな有限値 ℓ*ₐ に置き換えることで、左連続コストを含むMLAPに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般設定において不可能性結果が示されているにもかかわらず、深さ D > 2 の木におけるMLAPに対して、定数競合比オンラインアルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 一般的に下界を導出するために用いられるシングルフェーズインスタンスは、木の深さの関数として非定数下界を生じさせることを本質的に制限しているか？
• RQ3 左連続待機コスト関数を含むMLAPを、競合比を損なわずに連続コスト関数を含むMLAPに還元する変換は存在するか？
• RQ4 特にデッドライン設定下で、パス（つまり深さ2の木）におけるMLAPの最適競合比は何か？
• RQ5 オフラインMLAPで用いられるプライマル・ダウアルフレームワークを、ストレッチインヴァリアンスのような構造的不変性特性を介してオンライン設定に適応可能か？

主な発見

• 本稿では、任意の固定深さ D を持つ木におけるMLAPの、最初の定数競合比オンラインアルゴリズムを提示し、競合比は O(D⁴2^D) である。
• シングルフェーズインスタンスが木の深さの関数として非定数下界を生じさせないことを示し、そのインスタンスに対して最適な 4-競合比オンラインアルゴリズムを構築した。
• オフラインのシングルフェーズインスタンスは多項式時間で最適に解けるが、一般のMLAPインスタンスとは異なり、計算が難しいとは限らない。
• パスバリアントにおけるMLAPについて、競合比の下界が 4 であることが確立され、デッドライン設定下で一致する上界が達成されたため、タイトである。
• デッドライン付きMLAPに対して、2-近似のオフラインアルゴリズムが提示され、従来の近似因子を改善した。
• MLAP-D から左連続コストを含むMLAPへの還元が競合比を保持することを示し、デッドラインインスタンスに対しても連続コストアルゴリズムの適用が可能になった。