[논문 리뷰] Open Systems: A Double Categorical Perspective

Kenny Courser|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 05.

Petri Nets in System Modeling참고 문헌 23인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 입력과 출력을 가진 개방형 시스템—즉, 개방형 시스템을 모델링하기 위해 Fong의 장식된 코스판보다 더 유연한 대안을 제공하는 이중 범주적 프레임워크를 소개한다. 대칭 모나드 이중 범주 내에서 구조화된 코스판과 새로운 버전의 장식된 코스판을 형식화함으로써, 저자는 특정 조건 하에서 이 두 접근 방식 간의 동치성을 확립하며, 전기 회로, 마르코프 과정, 페트리 넷과 같은 다양한 분야의 개방형 시스템을 위한 통합적이고 구성적인 기초를 제공한다.

ABSTRACT

Fong developed `decorated cospans' to model various kinds of open systems: that is, systems with inputs and outputs. In this framework, open systems are seen as the morphisms of a category and can be composed as such, allowing larger open systems to be built up from smaller ones. Much work has already been done in this direction, but there is a problem: the notion of isomorphism between decorated cospans is often too restrictive. Here we introduce and compare two ways around this problem: structured cospans, and a new version of decorated cospans. Structured cospans are very simple: given a functor $L \colon \mathsf{A} o \mathsf{X}$, a `structured cospan' is a diagram in $\mathsf{X}$ of the form $L(a) ightarrow x \leftarrow L(b)$. If $\mathsf{A}$ and $\mathsf{X}$ have finite colimits and $L$ is a left adjoint, there is a symmetric monoidal category whose objects are those of $\mathsf{A}$ and whose morphisms are isomorphism classes of structured cospans. However, this category arises from a more fundamental structure: a symmetric monoidal double category. Under certain conditions this symmetric monoidal double category is equivalent to one built using our new version of decorated cospans. We apply these ideas to symmetric monoidal double categories of open electrical circuits, open Markov processes and open Petri nets.

연구 동기 및 목표

• Fong의 장식된 코스판의 한계를 해결하기 위해, 이sov모르피즘 클래스가 개방형 시스템을 모델링하는 데 너무 엄격한 경우를 다루기 위해.
• 대칭 모나드 이중 범주 내에서 구조화된 코스판을 사용하여 더 유연하고 기초적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 적절한 조건 하에서 구조화된 코스판과 동치가 되는 새로운 버전의 장식된 코스판을 정의하여, 대칭 모나드 이중 범주를 형성하기 위해.
• 전기 회로, 마르코프 과정, 페트리 넷과 같은 다양한 분야에서 개방형 시스템의 구성적 모델링을 통합하고 일반화하기 위해.
• 이중 범주 이론을 통해 구조화된 코스판과 새로운 장식된 코스판 간의 형식적 동치를 확립하여 모듈성과 구성성의 향상을 위해.

제안 방법

• L: A → X가 함자이며 일반적으로 왼쪽 수반 사상인 경우, 형태 L(a) → x ← L(b)의 다이어그램으로서 구조화된 코스판을 정의한다.
• A와 X가 유한 합을 가지며 L이 왼쪽 수반 사상인 경우, 구조화된 코스판의 대칭 모나드 이중 범주를 구성한다.
• 1차 사상이 장식된 코스판이고 2차 사상이 호환 가능한 변환인 이중 범주를 정의함으로써 새로운 버전의 장식된 코스판을 도입한다.
• 수평 및 수직 합성과 일관성 조건을 정의함으로써 장식된 코스판에 이중 범주 구조를 확립한다.
• 발바닥 대체 기법을 사용하여 구조화된 코스판의 이중 범주와 장식된 코스판의 이중 범주 간의 관계를 설정함으로써, 조건이 충족될 경우 비교 및 동치성을 가능하게 한다.
• 구체적인 시스템인 전기 회로, 개방형 마르코프 과정, 페트리 넷에 이 프레임워크를 적용하여, 이중 범주를 통한 구성적 모델링을 시연한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구조화된 코스판이 대칭 모나드 이중 범주로서 어떻게 형식화될 수 있으며, 이는 Fong의 원래 프레임워크에서의 이sov모르피즘 클래스보다 더 기초적인 기반을 제공하는가?
• RQ2 새로운 버전의 장식된 코스판의 이중 범주가 구조화된 코스판의 이중 범주와 동치가 되는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이중 범주적 구조는 전기 회로나 페트리 넷과 같은 개방형 시스템의 구성성과 모듈성에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 이 프레임워크는 마르코프 과정이나 페트리 넷을 포함한 다양한 유형의 개방형 시스템에 대해 일관된 범주론적 도구를 사용하여 균일하게 적용될 수 있는가?
• RQ5 발바닥 대체 기법은 어떻게 구조화된 코스판과 장식된 코스판의 이중 범주를 구성하고 비교하는 데 기여하는가?

주요 결과

• A와 X가 유한 합을 가지며 L: A → X가 왼쪽 수반 사상인 경우, 구조화된 코스판의 대칭 모나드 이중 범주가 구성된다.
• 새로운 버전의 장식된 코스판은 대칭 모나드 이중 범주로서 정의되며, Fong의 원래 프레임워크에서의 이sov모르피즘 클래스보다 더 유연한 대안을 제공한다.
• 적절한 조건 하에서, 구조화된 코스판의 이중 범주는 새로운 장식된 코스판의 이중 범주와 동치가 되며, 이는 두 접근 방식 간의 형식적 통합을 확립한다.
• 이 프레임워크는 개방형 전기 회로, 개방형 마르코프 과정, 개방형 페트리 넷을 대칭 모나드 이중 범주로서 성공적으로 모델링하여 구성적 추론을 가능하게 한다.
• 이중 범주적 구조는 시스템의 수평 및 수직 합성 모두를 허용하며, 일관된 2형태 사상이 시스템 변환을 포괄한다.
• 발바닥 대체된 이중 범주를 사용함으로써, 다양한 개방형 시스템의 범주론적 모델 간의 체계적 비교 및 변환 가능성이 향상되어 모듈성과 재사용성이 증가한다.