[論文レビュー] Operads, Algebras and Modules in General Model Categories

Markus Spitzweck|ArXiv.org|Jan 11, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 70

ひとこと要約

本稿は、自由関手の非線形性のため全モデル構造が成立しない場合でも、J-半モデル構造を用いることで、発生的生成された対称モノイドモデル圏における操作子、代数、モジュールのホモトピー的枠組みを確立する。操作子と代数に対してJ-半モデル構造を導入し、モジュールに対しては完全モデル構造を構成する。操作子と代数の弱同値に関するホモトピー不変性を証明し、E∞-代数上のモジュールの導来圏に対称モノイド構造を構成する。これはEKMMおよびKM理論を、基本変換および射影公式を含む一般化された文脈へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we develop the theory of operads, algebras and modules in cofibrantly generated symmetric monoidal model categories. We give J-semi model strucures, which are a slightly weaker version of model structures, for operads and algebras and model structures for modules. In a second part we develop the thoery of S-modules of [EKMM]., which allows a general homotopy theory for commutative algebras and pseudo unital symmetric monoidal categories of modules over them. Finally we prove a base change and projection formula.

研究の動機と目的

• 発生的生成された対称モノイドモデル圏における操作子、代数、モジュールの一般化されたホモトピー理論を構築すること。
• 自由関手の非線形性のため全モデル構造が成立しない場合に備えて、J-半モデル構造を操作子と代数に確立すること。
• 操作子と代数の弱同値に関する代数およびモジュールの圏のホモトピー不変性を証明すること。
• SSetまたは非負整数次元のアーベル複体の対称モノイド左クェイレン関手を介して、S-モジュールおよびE∞-代数のEKMMおよびKM理論を一般のモデル圏へと拡張すること。
• E∞-代数上のモジュールに対して、基本変換および射影公式の正確な形を同定すること。

提案手法

• 自由関手の非線形性を考慮し、小さなオブジェクトの手続きとリフト性質を用いて、Hoveyの枠組みを一般化し、操作子と代数のJ-半モデル構造を構築する。
• CがSSetまたはComp≥0(Ab)からの対称モノイド左クェイレン関手を備える場合、線形等長写像操作子を用いて、一般の対称モノイドモデル圏CにおけるE∞-操作子を構成する。
• コフibrantなE∞-代数上のモジュールの導来圏に、モジュールのテンソル積と導来関手を用いて対称モノイド構造を構成する。
• 基本変換および射影公式を適用し、代数準同型に関するモジュールの引き戻しと押し出しを関連づけ、古典的結果を一般化する。
• コフibrantな代数の導来圏からCのホモトピー圏への自然な関手が、余積およびテンソル積に関して対称モノイド的であることを証明する。
• E∞-代数上のモジュールの導来テンソル積が、コフibrant置換とモジュール構造を含むある種の押し出し構成と同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の発生的生成された対称モノイドモデル圏における操作子と代数に対して、J-半モデル構造を構築できるか？
• RQ2 弱同値な操作子の代数の圏は、導来的意味でホモトピー不変か？
• RQ3 E∞-代数上のモジュールの圏は、ホモトピー圏において適切に整った対称モノイド構造を備えているか？
• RQ4 SSetまたはComp≥0(Ab)からの左クェイレン関手を介して、S-モジュールおよびE∞-代数のEKMMおよびKM理論を任意の対称モノイドモデル圏へ一般化できるか？
• RQ5 この一般化された文脈において、E∞-代数上のモジュールの基本変換および射影公式の正確な形は何か？

主な発見

• 発生的生成された対称モノイドモデル圏における操作子と代数に対して、J-半モデル構造が存在する。自由関手の非線形性のため全モデル構造が成立しない場合でも、これにより十分な枠組みが得られる。
• 弱同値な操作子の代数の圏はホモトピー不変であり、操作子の弱同値がそれに対応する代数の圏のクェイレン同値を誘導する。
• コフibrantなE∞-代数上のモジュールの導来圏には、導来テンソル積によって誘導される自然な対称モノイド構造が存在する。
• 対称モノイドモデル圏CがSSetまたはComp≥0(Ab)からの対称モノイド左クェイレン関手を備える場合、S-モジュールにおける線形等長写像操作子から得られるE∞-操作子がCへ引き上げられ、E∞-代数およびそのモジュールの適切に整った理論が可能になる。
• E∞-代数上のモジュールの導来圏において、基本変換および射影公式が成り立つ。これは、トポロジカルおよび代数的文脈における既知の結果を一般化する。
• E∞-代数上のモジュールの導来テンソル積は、コフibrant置換とモジュール構造を含むある押し出し構成と同型であり、対称モノイド構造と整合的であることが保証される。