[论文解读] Operations on derived moduli spaces of branes

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 24

一句话总结

本文证明了规范的布兰尼模空间——即从空间 $ S $ 到导出代数堆 $ X $ 的映射——通过 $ S $ 上的余图（cospans）自然地携带操作，使用 $ \infty $-operads 来形式化这些作用。关键结果是在导出范畴 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ 上存在一个自然的 $ \mathcal{O} $-作用，从而证明了高阶形式性猜想，并正面回答了卡普斯汀关于通过 $ E_2 $-结构将多向量场与迭代 Hochschild 上同调联系起来的猜想。

ABSTRACT

The main theme of this work is the study of the operations that naturally exist on moduli spaces of maps $Map(S,X)$, also called the space of branes of $X$ with respect $S$. These operations will be constructed as operations on the (quasi-coherent) derived category $\D(Map(S,X))$, in the particular case where $S$ has some close relations with an operad $\OO$. More precisely, for an $\s$-operad $\OO$ and an algebraic variety $X$ (or more generally a derived algebraic stack), satisfying some natural conditions, we prove that $\OO$ acts on the object $\OO(2)$ by mean cospans. This universal action is used to prove that $\OO$ acts on the derived category of the space of maps $Map(\OO(2),X)$, which will call the brane operations. We apply the existence of these operations, as well as their naturality in $\OO$, in order to propose a sketch for a proof of the \emph{higher formality conjecture}, a far reaching extension of Konstevich's formality's theorem. By doing so we present a positive answer to a conjecture of Kapustin (see \cite[p. 14]{kap}), relating polyvector fields on a variety $X$ and deformations of the mono/"i dal derived category $\D(X)$.

研究动机与目标

• 通过使用 $ S $ 上的余图，形式化对模空间 $ \mathrm{Map}(S,X) $ 的导出范畴中自然操作的描述，且独立于 $ S $ 的自同构。
• 构建一种系统化方法，从简单输入数据（特别是 $ \infty $-operads）生成 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(S,X)) $ 上有趣的操作。
• 将所得框架应用于证明高阶形式性猜想，将康斯蒂耶维奇的形式性定理推广到高维情形。
• 为卡普斯汀猜想提供正面回答，即通过 $ E_2 $-结构将 $ X $ 上的平移多向量场与单体导出范畴的形变理论联系起来。

提出的方法

• 利用 $ \infty $-operads 和导出代数几何，通过余图在 $ \mathcal{O}(2) $ 上定义 $ \infty $-operad $ \mathcal{O} $ 在 $ \mathcal{O}(2) $ 上的普遍作用。
• 在导出范畴 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ 上构造一个 $ \mathcal{O} $ 的典范作用，称为布兰尼操作。
• 应用 $ E_k $-operad 的形式性，将 $ \mathbb{P}_k $-代数与 $ E_k^u $-代数联系起来，诱导出 $ HH^{\mathbb{P}_k}(X) $ 与 $ HH^{E_k^u}(X) $ 之间的等价关系。
• 在微分-格罗滕迪克李代数中的 $ E_1 $-代数上使用分类空间函子 $ B $，将 Hochschild 上同调与李代数结构联系起来，建立微分-格罗滕迪克李代数之间的等价关系。
• 利用塞加尔条件和 $ \infty $-范畴中 $ B $ 与 $ \Omega $ 之间的伴随关系，证明 $ B $ 在 $ E_1(\mathbf{dgl}) $ 上是等价的，从而实现 Hochschild 上同调与多向量场的识别。
• 应用等价关系 $ \alpha: \mathbb{P}_k \simeq E_k^u $，在平移多向量场与平移迭代 Hochschild 上同调之间诱导出微分-格罗滕迪克李代数的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖于定义域 $ S $ 的自同构的情况下，形式化布兰尼导出模空间上的操作？
• RQ2 $ S $ 上的余图在生成 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(S,X)) $ 上自然自函子的过程中起什么作用？
• RQ3 $ S $ 上余图的 $ \infty $-operad 结构能否用于在 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ 上构造一个普遍作用？
• RQ4 此类操作的存在是否意味着一个高阶形式性定理，将多向量场与迭代 Hochschild 上同调联系起来？
• RQ5 $ HH^{E_2}(X) $ 上的 $ E_2 $-结构是否诱导出一个与平移多向量场上的 Schouten 括号等价的典范微分-格罗滕迪克李代数结构，从而确认卡普斯汀的猜想？

主要发现

• 导出范畴 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ 携带一个通过 $ \mathcal{O}(2) $ 上余图构造的 $ \infty $-operad $ \mathcal{O} $ 的典范作用。
• 对于 $ k > 1 $，选择一个等价关系 $ \alpha: \mathbb{P}_k \simeq E_k^u $ 诱导出微分-格罗滕迪克李代数的典范等价关系：$ \mathbb{R}\Gamma(X,\mathrm{Sym}_{\mathcal{O}_X}(\mathbb{T}_X[-k]))[k] \simeq HH^{E_k}(X)[k] $。
• $ HH^{E_2}(X) $ 上的 $ E_2 $-结构诱导出 $ HH^{E_2}(X)[1] $ 上的微分-格罗滕迪克李代数结构，该结构与多向量场上的 Schouten 括号等价。
• $ E_1(\mathbf{dgl}) $ 上的分类空间函子 $ B: E_1(\mathbf{dgl}) \to \mathbf{dgl} $ 是 $ \infty $-范畴之间的等价，使得 $ E_1 $-代数可与其底层的微分-格罗滕迪克李代数识别。
• $ \alpha^* $ 保持到微分-格罗滕迪克李代数的遗忘函子，确保 Hochschild 上同调上 $ \mathbb{P}_k $-与 $ E_k^u $-代数结构之间的兼容性。
• 结果确认了卡普斯汀的猜想：对于光滑概族 $ X $，平移 Hochschild 上同调 $ HH^{E_2}(X)[1] $ 与配备 Schouten 括号的平移多向量场复形之间存在拟同构。