[論文レビュー] Operations on polyhedral products and a new topological construction of infinite families of toric manifolds

Abbas Bahri, Martin Bendersky+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 25被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、与えられたトーリック多様体から無限族のトーリック多様体を構成するための、単体的複体における新しい組み合わせ的演算を導入し、多面体的積と一般化されたモーメント・アングル複体を用いる。主な貢献は、新しい多様体 $M(J)$ の整数係数コホモロジー環を元の多面体と特徴写像の観点から完全に記述することであり、トポロジカル不変量が取り扱いやすいトーリック多様体の体系的生成を可能にする。

ABSTRACT

A combinatorial construction is used to analyze the properties of polyhedral products and generalized moment-angle complexes with respect to certain operations on CW pairs including exponentiation. This allows for the construction of infinite families of toric manifolds, associated to a given one, in a way which simplifies the combinatorial input and consequently, the presentation of the cohomology rings. The new input is the interaction of a purely combinatorial construction with natural associated geometric constructions related to polyhedral products and toric manifolds. Applications of the methods and results developed here have appeared in literature.

研究の動機と目的

• 与えられた1つのトーリック多様体から無限族のトーリック多様体を体系的に生成する方法を開発すること。
• トーリック多様体のコホモロジー環を記述するために必要な組み合わせ的およびコホモロジー的入力を簡略化すること。
• 一般化されたモーメント・アングル複体と標準的な多面体的積の間の同相的同値性を、$T^m$--equivariantなホメオモルフィズムによって確立すること。
• 新しいトーリック多様体 $M(J)$ の完全なコホモロジー記述を、元のデータに基づいて与えること。
• $H^2$-構造を保ちつつ、エピモルフィズムコホモロジー写像を持つネスト構造のトーリック多様体の系列を構成すること。

提案手法

• $m$ 個の頂点を持つ単体的複体に、正の整数列 $J = (j_1, \dots, j_m)$ を用いて演算 $J$ を定義し、$d(J) = \sum j_i$ 個の頂点を持つ新たな複体 $K(J)$ を生成する。
• 定理 7.5 を用いて、多面体的積 $Z(K(J); (D^2, S^1))$ が $Z(K; (D^{2J}, S^{2J-1}))$ に $T^m$-equivariant にホメオモルフィックであることが示され、一般化されたモーメント・アングル複体と標準的複体の間の関係が確立される。
• 新しいトーリック多様体 $M(J)$ のコホモロジーは、ファイブレーション $Z(K; (\mathbb{C}P^\infty, \mathbb{C}P^{J-1})) \to BT^m$ のセレ・スペクトル系列から導出され、$H^*(M(J); \mathbb{Z})$ は $\mathbb{Z}[v_1, \dots, v_m]$ のイデアル $I_K^J + L_M$ による商として特定される。
• ダヴィス＝ジャヌシュキエヴィチ空間をモデルとして用い、$BT^n$ から $BT^m$ への写像 $p^*$ が特徴写像 $\lambda$ を符号化し、イデアル $L_M$ を定義する。
• 列 $J < L$ における直接積順序に基づくネスト構成が導入され、埋め込み $M(J) \subset M(L)$ と正規バンドル $\bigoplus (l_i - j_i)\alpha_i$ が得られる。
• スペクトル系列の収束と図式の追跡により、コホモロジー写像 $i^*: H^k(M(L)) \to H^k(M(J))$ がすべての $k$ に対してエピモルフィズムであり、特に $k=2$ では同型であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた1つのトーリック多様体から、どのようにして無限族のトーリック多様体を体系的に生成できるか？
• RQ2 新しいトーリック多様体 $M(J)$ のコホモロジー環の正確な構造は、元の多面体と特徴写像の観点からどのように記述できるか？
• RQ3 一般化されたモーメント・アングル複体と標準的多面体的積の間には、$T^m$--equivariant トポロジーによってどのように関係があるか？
• RQ4 列 $J < L$ に対して、埋め込み $M(J) \subset M(L)$ の位相的性質は何か？ そして、コホモロジーにどのように影響を与えるか？
• RQ5 特徴写像 $\lambda$ の不変量は、ネストされたトーリック多様体族における微分同相型やホモトピー同値性を検出できるか？

主な発見

• 新しいトーリック多様体 $M(J)$ のコホモロジー環は、$\mathbb{Z}[v_1, \dots, v_m]/(I_K^J + L_M)$ に同型であり、ここで $I_K^J$ は複体 $K(J)$ から来るもので、$L_M$ は元の特徴写像 $\lambda$ から来る。
• 多面体的積 $Z(K(J); (D^2, S^1))$ は $Z(K; (D^{2J}, S^{2J-1}))$ に $T^m$-equivariant にホメオモルフィックであり、一般化されたと標準的なモーメント・アングル複体の間の位相的同値性が確立される。
• セレ・スペクトル系列における写像 $p^*$ は $(\alpha^{-1})^* \circ (p_1^* \circ s^*)$ の合成として特定され、その像がコホモロジー商におけるイデアル $L_M$ を生成する。
• $J < L$ のとき、埋め込み $\zeta: M(J) \to M(L)$ の正規バンドルは $\bigoplus_{i=1}^m (l_i - j_i)\alpha_i$ である。ここで $c_1(\alpha_i) = v_i$ である。
• コホモロジー写像 $i^*: H^k(M(L)) \to H^k(M(J))$ はすべての $k$ に対してエピモルフィズムであり、スペクトル系列の収束とファイブレーションの構造により $k=2$ では同型である。
• 頂点数 $d(J_i) = m + i$ を満たす、$M(J_0) \subset M(J_1) \subset \cdots$ のようなネストされたトーリック多様体の系列が構成され、各埋め込みの余次元は2であり、コホモロジー写像はエピモルフィズムであり、$k=2$ では同型である。