[論文レビュー] Operator of Time and Properties of Solutions of Schroedinger Equation for Time Dependent Hamiltonian

Slobodan Prvanović, D. Arsenović|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非相対論的量子力学における時間の自己随伴作用素を提案し、ヒルベルト空間形式を拡張して位置や運動量と同様に時間も観測可能量として扱う。時間に依存するハミルトニアンの2つのクラス—加法的および乗法的時間依存性—に対して、時間に依存するシュレーディンガー方程式の解の性質を導出し、解の時間に依存する部分が一般化されたデルタ関数として振る舞い、時間に依存する位相変調を用いて直交性、完全性、フーリエ型変換が定義されることを示した。

ABSTRACT

Within the framework of self-adjoint operator of time in non-relativistic quantum mechanics some properties of solutions of Schroedinger equation, related to Hilbert space formalism, are investigated for two types of time dependent Hamiltonian.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間形式を拡張し、位置や運動量作用素と同様に自己随伴時間作用素を導入すること。
• この拡張された形式において、時間に依存するハミルトニアンに対するシュレーディンガー方程式の時間に依存する部分の解を体系的に分析すること。
• 時間に依存するハミルトニアンの一般化固有関数について、直交性、完全性、変換性質を確立すること。
• 拡張されたヒルベルト空間形式の枠組みにおいて、シュレーディンガー方程式が非負のエネルギーを持つ物理的状態を選択する制約として果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 自己随伴時間作用素 $\hat{t}$ とその共役エネルギー作用素 $\hat{s}$ が作用するヒルベルト空間 $\mathcal{H}_t$ を導入し、正準交換関係 $[\hat{t}, \hat{s}] = i\hbar\hat{I}$ を満たす。
• 解を $|q\rangle \otimes |t\rangle$ 基底で表現することで、標準的な時間に依存するシュレーディンガー方程式 $i\hbar \partial_t \psi(q,t) = \hat{H} \psi(q,t)$ が得られる。
• $H = H_0 + g(t)$ の場合、解を $\psi_E(q) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ih(t)} e^{iEt}$ と導出し、$h(t) = \int g(t) dt$ と定義し、時間に依存するフーリエ変換 $\mathcal{F}_h$ を定義する。
• $H = H_0 \cdot g(t)$ の場合、解を $\psi_E(q) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-iE h(t)}$ と導出し、一般化された変換 $\mathcal{F}_h f(t) = \int f(t) e^{-iE h(t)} dt$ を定義し、変数変換によって標準フーリエ変換と関連付ける。
• 一般化固有関数とその双対を用いて双直交性と恒等式の分解を確立し、$\langle E', h, \perp | E, h \rangle = \delta(E - E')$ を示す。
• 分布論的解析を用いて関数 $S(E) = \frac{1}{2\pi} \int e^{iE h(t)} dt$ を緩やかな分布として定義し、逆フーリエ変換による時間関数の逆関数のヤコビアンとの関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パウリの定理を鑑みるとき、非相対論的量子力学において時間作用素を一貫的に自己随伴作用素として定義する方法は何か？
• RQ2 時間が観測可能量として扱われる場合、時間に依存するシュレーディンガー方程式の解が持つ数学的および物理的性質は何か？
• RQ3 拡張されたヒルベルト空間形式において、加法的または乗法的な時間依存性を示すハミルトニアンに対して、波動関数の時間に依存する部分はどのように振る舞うか？
• RQ4 この枠組みにおいて、シュレーディンガー方程式が非負のエネルギーを持つ物理的状態を選択する制約として果たす役割は何か？
• RQ5 時間に依存する位相を持つ解に対して、一般化されたフーリエ変換をどのように定義できるか？また、その逆変換および直交性の性質は何か？

主な発見

• ハミルトニアン $H = H_0 + g(t)$ の場合、解の時間に依存する部分は $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ih(t)} e^{-iEt}$ であり、これは作用素 $i\partial_t - g(t)$ の完全かつ直交する一般化固有関数の集合を形成する。
• 変換 $\mathcal{F}_h f(t) = \int f(t) e^{-ih(t)} e^{-iEt} dt$ は、$f(t) e^{-ih(t)}$ の標準フーリエ変換に等しく、標準的な調和解析の道具が適用可能である。
• $H = H_0 \cdot g(t)$ の場合、時間に依存する解の部分 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-iE h(t)}$ は直交しないが、その双対 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} h'(t) e^{-iE h(t)}$ により双直交性と恒等式の分解が保証される。
• 一般化された変換 $\mathcal{F}_h f(t) = \int f(t) e^{-iE h(t)} dt$ は、$\mathcal{F}(f(h^{-1}(t)) \cdot |dh^{-1}/dt|)$ を通じて標準フーリエ変換と関連づけられ、明示的な逆変換が可能である。
• 関数 $S(E) = \frac{1}{2\pi} \int e^{iE h(t)} dt$ は分布として存在し、$S(E) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ \mathcal{F}^{-1} \left( \left( \frac{dh^{-1}}{dt} \right)^* \right) \right]^*$ として、逆フーリエ変換によるヤコビアンとの関係で表現される。
• 全解 $\psi_E(q,t) = \psi_E(q) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-iE h(t)}$ は、$\psi_E(q)$ の直交性のおかげで $E$ に関して直交するが、時間部分自体は直交しない。