[論文レビュー] Operator theoretic approach to the Caputo derivative and the fractional diffusion equations

Rudolf Gorenflo, Yuri Luchko+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数次ソボレフ空間における古典的な点での定義が滑らかさに過剰な要件を課えるのを回避するために、Caputo微分係数の新しい作用素論的定義を導入する。分数積分および微分作用素のノルム同値性を確立することで、時間分数拡散方程式に対する弱解の最大正則性および存在・一意性を証明する。

ABSTRACT

The Caputo time-derivative is usually defined pointwise for well-behaved functions, say, for continuously differentiable functions. Accordingly, in the theory of the partial fractional differential equations with the Caputo derivatives, the functional spaces where the solutions are looked for are often the spaces of the smooth functions that are too narrow. In this paper, we introduce a suitable definition of the Caputo derivative in the fractional Sobolev spaces and investigate it from the operator theoretic viewpoint. In particular, some important equivalences of the norms related to the fractional integration and differentiation operators in the fractional Sobolev spaces are given. These results are then applied for proving the maximal regularity of the solutions to some initial-boundary value problems for the time-fractional diffusion equation with the Caputo derivative in the fractional Sobolev spaces.

研究の動機と目的

• 古典的なCaputo微分係数の定義の限界を是正すること。これは点での微分可能性を要件としており、解空間をあまりに滑らかな関数に制限する。
• 点での微分可能性が保証されない状況下でも、分数ソボレフ空間においてCaputo微分係数を意味的に定義すること。これにより、分数PDEの弱解の解析が可能になる。
• これらの空間における分数積分と微分作用素の間のノルム同値性を確立すること。これは正則性理論において不可欠である。
• 時間分数拡散方程式の初期境界値問題に対して、Caputo微分係数を用いた最大正則性および存在・一意性の結果を証明すること。
• データの正則性と解のノルム推定値の間の不整合を解消すること。

提案手法

• 点での微分可能性を要件としないように、分数ソボレフ空間における双対性および作用素の拡張を用いてCaputo微分係数を定義する。
• Riemann-Liouville積分を基盤とし、作用素論的恒等式を通じてそれをCaputo微分係数と関連付ける。
• ガンマ関数の性質を活用して、分数ソボレフノルムと分数積分・微分を含むノルムとの間のノルム同値性を確立する。
• 一般の楕円作用素 $-L$ を用いた時間分数拡散方程式に理論を適用し、ボルテラ積分形式を用いる。
• $L^2(0,T;H^1_0(\bar\bigOmega))$ における固定点法を用い、反復作用素 $Q^m$ の推定を行い、$m$ が十分に大きい場合に収縮性を示す。
• ガンマ関数の漸近的性質を用いて、収縮定数 $\rho_m \to 0$ が $m \to \infty$ のとき成り立つことを証明し、存在および一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な点での定義が微分可能性の欠如により失敗する状況下で、分数ソボレフ空間におけるCaputo微分係数をどのように意味的に定義できるか？
• RQ2 分数ソボレフ空間において、分数積分と微分作用素の間で成立するノルム同値性は何か？また、それらは正則性解析をどのように支援するか？
• RQ3 時間分数拡散方程式に対して、Caputo微分係数を用いた弱解の最大正則性および存在・一意性を、分数ソボレフ空間で確立できるか？
• RQ4 データの正則性 $F \in L^\infty(0,T;L^2(\Omega))$ と解のノルム推定値 $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ の間の不整合は、どのように解消できるか？
• RQ5 解作用素が $L^2(0,T;H^1_0(\Omega))$ で収縮的であるための条件は何か？これにより、固定点理論による存在性が保証される。

主な発見

• 点での微分可能性 $\partial_t u$ が存在しない場合でも有効な、分数ソボレフ空間におけるCaputo微分係数の新しい作用素論的定義が導入された。
• 分数ソボレフノルムと分数積分・微分を含むノルムとの間のノルム同値性が確立され、堅牢な解析が可能になった。
• 解作用素 $Q$ は $\|Q^m u\|_{L^2(0,T;H^1)} \leq \rho_m^2 T^2 \|u\|_{L^2(0,T;H^1)}$ を満たし、$\rho_m \to 0$ が $m \to \infty$ のとき成り立つため、十分大きな $m$ に対して収縮性が保証された。
• $u = Qu + G$ は $L^2(0,T;H^1_0(\Omega))$ に一意解を持つ。これにより、弱解の存在および一意性が保証された。
• 解は $\|u\|_{L^2(0,T;H^1)} \leq C \|F\|_{L^2(0,T;L^2)}$ を満たし、以前のノルム推定値の不整合が解消された。
• 最大正則性が達成された：$u \in L^2(0,T;H^2(\Omega)) \cap H^\alpha(0,T;L^2(\Omega))$ であり、$\|u\|_{L^2(0,T;H^2) \cap H^\alpha(L^2)} \leq C \|F\|_{L^2(0,T;L^2)}$ が成り立つ。