[論文レビュー] Optimal Actuator Location of the Minimum Norm Controls for Heat Equation with General Controlled Domain

Bao‐Zhu Guo, Yashan Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固定されたLebesgue測度を持つ時間変動型アクチュエータ領域を有する多次元熱方程式に対して、最適なアクチュエータ配置および最小ノルム制御を決定するためのゲーム理論的枠組みを構築する。アクチュエータ配置と制御入力の間でナッシュ均衡問題を定式化することで、著者らは最適古典的解の存在および一意性を確立し、初期データに依存しない状態フィードバック則を合成する。

ABSTRACT

In this paper, we study optimal actuator location of the minimum norm controls for a multi-dimensional heat equation with control defined in the space $L^p(0,T;L^2(Ω))$. The actuator domain $ω$ is quite general in the sense that it is required only to have a prescribed Lebesgue measure. A relaxation problem is formulated and is transformed into a two-person zero-sum game problem. By the game theory, we develop a necessary and sufficient condition and the existence of relaxed optimal actuator location for $p\in[2,+\infty]$, which is characterized by the Nash equilibrium of the associated game problem. An interesting case is for the case of $p=2$, for which it is shown that the classical optimal actuator location can be obtained from the relaxed optimal actuator location without additional condition. Finally for $p=2$, a sufficient and necessary condition for classical optimal actuator location is presented.

研究の動機と目的

• 固定された測度を持つ時間変動型領域におけるアクチュエータの最適配置を特定し、多次元熱方程式における制御入力のノルムを最小化すること。
• 特に1次元ケースを越えた多次元放物型PDEにおける最適アクチュエータ配置に関する結果の不足に対処すること。
• 最適アクチュエータ配置と制御を統合して状態フィードバックを合成することにより、初期条件に依存しないフィードバック制御則を開発すること。
• ゲーム理論的手法を用いて、オープンループ系における最適古典的解の存在および一意性を確立すること。
• 1次元問題に関する先行結果を一般化し、一般の制御領域を有する放物型方程式における最小ノルム制御に関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• 1人のプレイヤーがアクチュエータ領域を選択し、もう1人のプレイヤーが制御入力を選択する2人プレイヤーのナッシュ均衡問題として、アクチュエータ領域選択と制御設計を定式化する。
• 各時刻 $ t \in (s,T) $ において、$ \Omega $ の可測部分集合として、固定されたLebesgue測度 $ \alpha \cdot m(\Omega) $ を持つ、許容可能なアクチュエータ領域の集合 $ \mathcal{W}_{s,T} $ を定義する。
• 随伴系と双対性を用いて、与えられたアクチュエータ領域に対する最小ノルム制御を特徴づけ、リカッチ型方程式の解を介して制御の最適性条件を導出する。
• ナッシュ均衡枠組みを用いて、最適緩和解の必要十分条件を確立し、アクチュエータ配置と制御が同時に最適であることを保証する。
• 現在の状態から最適アクチュエータ配置と制御入力をそれぞれ写像するフィードバック則 $ \mathcal{F} $ と $ \mathcal{G} $ を構築し、初期データに依存しないことを保証する。
• フィードバック則が要求される正則性および連続性条件を満たすことを確認することで、閉ループ系の古典的解の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された測度を持つ時間変動型領域における最適アクチュエータ配置は、多次元熱方程式の制御入力ノルムを最小化するためにどのように特定されるか？
• RQ2 最適制御とアクチュエータ配置を同時に設計することで、得られるフィードバック則が初期データに依存しないようにするにはどうすればよいか？
• RQ3 一般の制御領域を有する放物型PDEに対して、ナッシュ均衡枠組みを用いてアクチュエータ配置と制御入力を同時に最適化できるか？
• RQ4 変動するアクチュエータ領域を有する最小ノルム制御の文脈において、最適古典的解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ5 提案手法は、1次元系に関する先行結果をどのように一般化し、放物型方程式における最適アクチュエータ配置に関する未解決問題をどのように解消するか？

主な発見

• 最適アクチュエータ配置とそれに応じた最小ノルム制御は、ナッシュ均衡枠組みを介して同時に決定され、両者が同時に最適であることが保証される。
• 提案された枠組みのもとで、オープンループ系における最適古典的解の存在および一意性が確立される。
• 最適フィードバック制御とアクチュエータ配置は、初期データに依存しない状態フィードバック則 $ \mathcal{F} $ と $ \mathcal{G} $ に統合される。
• 解は閉ループ系 (1.4) を満たし、$ y^{{\cal F},{\cal G}}(T; s, \xi) = 0 $ を満たすため、最小制御エネルギーでゼロ可制御性が保証される。
• フィードバック則は時間に関して適切に定義されており連続であり、任意の $ t \in [s,T) $ に対して $ \mathcal{F}(t, y(\cdot,t)) = w^{s,\xi}(t) $ および $ \mathcal{G}(t, y(\cdot,t)) = u^{s,\xi}(t) $ が成り立つ。
• 矛盾による証明により、制御とアクチュエータ配置の最適性が示される：任意の逸脱は、元の解の最適性を破るより小さい制御ノルムを生じさせる。