[論文レビュー] Optimal control and numerical software: an overview

Helena Sofia Rodrigues, M. Teresa T. Monteiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Advanced Control Systems Optimization参考文献 24被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、最適制御（OC）問題を解くための数値ソフトウェアツールについて包括的な概要を提供し、直接法と間接法を、風疹の疫学的モデルを通じて比較する。5つのソフトウェアパッケージ—MATLABのode45、OC-ODE、DOTcvp、IPOPT、SNOPT—を評価し、直接積分法と非線形計画法を用いて、複雑なOC問題における性能、精度、耐障害性を実証する。

ABSTRACT

Optimal Control (OC) is the process of determining control and state trajectories for a dynamic system, over a period of time, in order to optimize a given performance index. With the increasing of variables and complexity, OC problems can no longer be solved analytically and, consequently, numerical methods are required. For this purpose, direct and indirect methods are used. Direct methods consist in the discretization of the OC problem, reducing it to a nonlinear constrained optimization problem. Indirect methods are based on the Pontryagin Maximum Principle, which in turn reduces to a boundary value problem. In order to have a more reliable solution, one can solve the same problem through different approaches. Here, as an illustrative example, an epidemiological application related to the rubella disease is solved using several software packages, such as the routine ode45 of Matlab, OC-ODE, DOTcvp toolbox, IPOPT and Snopt, showing the state of the art of numerical software for OC.

研究の動機と目的

• 複雑な実世界の応用における最適制御問題を解くための最新の数値ソフトウェアを評価すること。
• 実用的な疫学的事例研究を通じて、直接法と間接法の性能、精度、耐障害性を比較すること。
• ベンチマーク用の風疹感染モデルを通じて、現代の非線形計画法ソルバが最適制御問題を効果的に解くことの有効性を示すこと。
• 問題の構造、計算コスト、収束特性に基づいて、研究者が適切なソフトウェアツールを選択するための実用的ガイドを提供すること。

提案手法

• 最適制御問題をEuler法を用いた均等な時間分割により非線形計画問題（NLP）に離散化することで、直接法を適用する。
• 風疹の伝播モデルは、感受性者、感染者、回復者、予防接種者を表す状態変数を含むボルツァ形式で定式化される。
• 性能指標には、感染者数の最小化による疾病制御と、制御効率のペナルティによる干渉コストのトレードオフが含まれる。
• MATLABのode45、OC-ODE、DOTcvp、IPOPT、SNOPTの5つのソフトウェアパッケージを用いて離散化問題を解き、NEOSサーバー上でAMPLをモデリング言語として使用する。
• IPOPTは内点法、SNOPTは逐次二次計画法（SQP）を用い、スパースな微分構造を活用して効率を高める。
• 収束速度と数値的安定性を向上させるために、自動微分とスパarsityの活用が解法プロセスに組み込まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実世界の複雑さを有する最適制御問題を解く際、異なる数値ソフトウェアパッケージの性能はどのように比較できるか？
• RQ2 非線形疫学的モデルに直接法と間接法を適用した場合、相対的な精度と耐障害性はどの程度か？
• RQ3 内点法とSQPベースのソルバは、最適制御問題における収束速度と解の品質の観点で、どのように性能を発揮するか？
• RQ4 標準的な非線形計画法ツールは、生物学的ダイナミクスを有する複雑で制約のある最適制御問題をどの程度処理できるか？
• RQ5 スパarsityの活用と微分情報の役割は、最適制御ソフトウェアの効率性向上にどのように寄与するか？

主な発見

• IPOPT や SNOPT といった現代の NLP ソルバと組み合わせた直接法は、初期推定値が悪くても、高い精度と耐障害性を示す。
• IPOPT と SNOPT は、ヤコビ行列とヘッセ行列のスパース構造を効果的に活用することで、優れた収束特性と計算効率を示した。
• AMPLを介した自動微分の使用により、微分計算の信頼性と速度が著しく向上した。
• IPOPT と SNOPT を用いた解法は、最小の目的関数値に収束し、疾病制御と干渉コストの効果的なトレードオフを示した。
• MATLABのode45は最適制御問題に対しては効果が低く、最適化機能の欠如が顕著に現れた。これは、専用の NLP ソルバの必要性を強調する。
• 本研究は、制約や非線形ダイナミクスが関与する複雑で高次元の最適制御問題において、直接法がより実用的であることを確認した。