[論文レビュー] Optimal Control for Nonlinear Hybrid Systems via Convex Relaxations

Pengcheng Zhao, Shankar Mohan+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Robotic Locomotion and Control参考文献 33被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、状態依存的スイッチングを伴う非線形ハイブリッドシステムのグローバル最適制御問題を解くための凸緩和ベースの手法を提案する。問題を測度の空間に持ち上げ、系列的な半定値計画法を解くことで、真のグローバル最適解へ単調に収束する。ベンチマーク問題、特にアクティブな SLIP モデルにおいて、勾配ベースの手法に比べて収束性とグローバル最適性の両面で優れる。

ABSTRACT

This paper considers the optimal control for hybrid systems whose trajectories transition between distinct subsystems when state-dependent constraints are satisfied. Though this class of systems is useful while modeling a variety of physical systems undergoing contact, the construction of a numerical method for their optimal control has proven challenging due to the combinatorial nature of the state-dependent switching and the potential discontinuities that arise during switches. This paper constructs a convex relaxation-based approach to solve this optimal control problem. Our approach begins by formulating the problem in the space of relaxed controls, which gives rise to a linear program whose solution is proven to compute the globally optimal controller. This conceptual program is solved by constructing a sequence of semidefinite programs whose solutions are proven to converge from below to the true solution of the original optimal control problem. Finally, a method to synthesize the optimal controller is developed. Using an array of examples, the performance of the proposed method is validated on problems with known solutions and also compared to a commercial solver.

研究の動機と目的

• 状態依存的スイッチングと不連続性を伴う非線形ハイブリッドシステムにおけるグローバル最適制御の課題に対処すること。
• 固定された遷移シーケンスに依存するか、局所最適化に依存する既存手法の限界を克服すること。
• 事前にスイッチングシーケンスの知識が不要な、グローバルに収束する数値的手法を開発すること。
• 凸緩和を用いて、ハイブリッド最適制御問題を計算的に扱いやすい枠組みで解くこと。

提案手法

• 緩和制御の空間（測度）においてハイブリッド最適制御問題を定式化し、無限次元線形計画問題に変換する。
• 真の最適コストに下方から単調に収束する有限次元の半定値計画法緩和（P_k）の系列を構築する。
• モーメント表現と平方和技術を用いて、測度に基づく線形計画問題を近似する。
• ラッセルレ階層を適用して、最適コストのよりタイトな下界を段階的に得る。
• 緩和解から制御入力を回復するための制御器設計手法を開発する。
• 既知の最適解が得られるアクティブな SLIP モデルに対して、GPOPS-II と比較して手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態依存的スイッチングを伴う非線形ハイブリッドシステムに対して、凸緩和アプローチがグローバル最適性を達成できるか？
• RQ2 緩和度が増加するにつれて、半定値計画法階層の収束性はどのように変化するか？
• RQ3 GPOPS-II などの勾配ベースのソルバーよりも、グローバル最適性および解の質において優れるか？
• RQ4 アクティブな SLIP モデルのような、未知または複雑なスイッチングシーケンスを伴う問題に対して、この手法はどれほど効果的か？
• RQ5 緩和度を増加させることによる、計算コストと解の精度のトレードオフはいかなるものか？

主な発見

• 垂直変位を最大化するアクティブな SLIP モデルにおいて、2k=8 の緩和度でコストが -0.5754 に達し、真のグローバル最適解に収束した。
• 2k=8 の場合、本手法は約 12,290 秒を要したが、GPOPS-II は 1,453 秒で実行されたものの、コストは -0.5735 とより悪い値を示した。
• v=0.1 の追従問題において、2k=8 の場合、本手法のコストは 0.2165 であり、GPOPS-II の 0.2657 よりも著しく優れていた。
• 緩和度を増加させることで解の品質が単調に向上し、真の最適コストに下方から収束していることが示された。
• シミュレーションにより、緩和解から得た制御器が、実行可能かつ近似的に最適な軌道を達成していることが確認された。
• 本手法は、追従タスクにおける8回の遷移など、複雑なスイッチングシーケンスを事前の知識なしに正しく同定できた。