[論文レビュー] Optimal Control of Hybrid Systems Using a Feedback Relaxed Control Formulation

Tyler Westenbroek, Humberto González|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Advanced Control Systems Optimization参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、連続的軌道を示すハイブリッドシステムの最適制御のためのフィードバック緩和制御定式化を提案する。ドメイン制約を非線形計画法フレームワークに統合することで、連続状態に基づいて離散モードを無効化する集合値フィードバック則を用いることで、スライディングモード現象やゼノ的挙動を正確に捉えながら、ハイブリッド最適制御問題の効率的数値解法を可能にする。

ABSTRACT

We present a numerically tractable formulation for computing the optimal control of the class of hybrid dynamical systems whose trajectories are continuous. Our formulation, an extension of existing relaxed-control techniques for switched dynamical systems, incorporates the domain information of each discrete mode as part of the constraints in the optimization problem. Moreover, our numerical results are consistent with phenomena that are particular to hybrid systems, such as the creation of sliding trajectories between discrete modes.

研究の動機と目的

• 連続的軌道を示すハイブリッドシステムの最適制御問題を数値的に解く課題に取り組む。これはゼノ実行や非滑らかダイナミクスといった現象により、困難である。
• ゼノや非軌道的安定でない軌道を含まない既存の最適性条件の制限を克服する。これらは実世界の応用で一般的である。
• モード固有のドメイン制約を組み込むことで、緩和制御理論をハイブリッドシステムに拡張する計算上で扱いやすい枠組みを構築する。
• 状態依存の制約に基づいて離散モードを動的に無効化するフィードバック則を用いることで、スライディングモードを含む最適軌道の正確な近似を可能にする。
• ハイブリッド最適制御問題を標準的な非線形計画法問題に変換する実用的な数値実装を提供し、効率的な計算を実現する。

提案手法

• ハイブリッドシステムを $\mathcal{H} = (\mathcal{X}, \mathcal{I}, \mathcal{D}, \mathcal{U}, \mathcal{F})$ のタプルとして定式化する。ここで $\mathcal{X}$ は連続状態空間、$\mathcal{I}$ は離散モード集合、$\mathcal{D}_i$ は各モード $i$ のドメイン、$\mathcal{U}$ は制御入力集合、$\mathcal{F}$ は各モードごとのベクトル場を表す。
• 異なるモード間の連続的遷移を可能にするために、モード間でベクトル場の凸結合を許容する緩和制御定式化を導入する。
• 補完的条件を用いてモード無効化を組み込む：離散モード $i$ は $d_i(x) \leq 0$ のときのみ有効である。ここで $d_i$ はモード $i$ のドメインを定義する。
• 現在の連続状態 $x(t)$ をあるモードの許容集合にマッピングするフィードバック則を用い、状態依存のスイッチング論理を効果的に構築する。
• SNOPT などの標準的な数値ソルバを用いて、得られた最適制御問題を非線形計画法問題に変換する。
• 投影演算子 $\mathcal{P}_N$ と近似写像 $\mathcal{F}_N$ を適用して、緩和解から離散的ハイブリッド軌道を回復し、収束解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的軌道を示すハイブリッドシステムに緩和制御定式化を拡張することで、最適制御問題の数値的解法が可能になるか？
• RQ2 離散モードのドメイン制約を最適制御フレームワークに統合する方法は何か？ これにより物理的・運用的妥当性が保証される。
• RQ3 提案手法は、ハイブリッドシステムに一般的に見られるスライディングモード挙動やその他の非滑らか現象を正確に捉えることができるか？
• RQ4 従来のスイッチング系アプローチと比較して、フィードバックに基づくモード無効化則は、数値的取り扱いやすさと収束性をどの程度向上させるか？
• RQ5 投影および近似演算子を用いて再構築された緩和解は、真のハイブリッド最適軌道をどの程度正確に近似するか？

主な発見

• 提案された定式化は、スライディングモードを含む複雑な挙動を示す連続的軌道を示すハイブリッドシステムの最適制御軌道を効果的に計算することができた。
• 問題を標準的な非線形計画法問題に変換することで、SNOPT などの市販ソルバを用いて効率的な数値解法が可能になった。
• ヘリコプターの例では、障害物の近くでのみ安全モード $S$ が活性化され、状態依存のモード選択が効果的に実現された。
• $N=100$ 個の時間サンプルを用いて、シミュレーションは201秒で完了し、リアルタイムまたは埋め込み応用においても計算上の実行可能性が示された。
• $N=12$ を用いた $\mathcal{F}_N$ と $\mathcal{P}_N$ を用いた近似により、緩和最適軌道に非常に近いハイブリッド軌道が得られ、収束が速いことが示された。
• 結果は、フィードバック緩和制御定式化が、従来の最適性条件が除外するスライディング軌道やゼノ的挙動などの現象を正確に捉えられることを確認した。