[論文レビュー] Optimal cross hedging for insurance derivatives

Stefan Ankirchner, Peter Imkeller+1 more|ArXiv.org|May 25, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、気温などの外部物理的リスクと関連する保険デリバティブの最適な動的クロスヘッジ戦略を、相関する取引可能な金融資産を用いて開発する。明示的な無差別価格決定式を導出し、動的ヘッジが相関に依存する要因によってエントロピックリスクを低減することを示す。特に、デリバティブが分散化効果を持つ場合、リスク低減は保証される。

ABSTRACT

We consider insurance derivatives depending on an external physical risk process, for example a temperature in a low dimensional climate model. We assume that this process is correlated with a tradable financial asset. We derive optimal strategies for exponential utility from terminal wealth, determine the indifference prices of the derivatives, and interpret them in terms of diversification pressure. Moreover we check the optimal investment strategies for standard admissibility criteria. Finally we compare the static risk connected with an insurance derivative to the reduced risk due to a dynamic investment into the correlated asset. We show that dynamic hedging reduces the risk aversion in terms of entropic risk measures by a factor related to the correlation.

研究の動機と目的

• 気温の変動などの物理的気候リスクにさらされる保険デリバティブの最適な動的ヘッジ戦略を開発すること。
• 指数的ユーティリティ最大化の下で、これらのデリバティブの明示的な無差別価格決定式を導出すること。
• エントロピックリスク測度と相関効果を用いて、動的クロスヘッジによるリスク低減を定量化すること。
• デリバティブの保有下での最適投資戦略の許容性および構造的性質を分析すること。
• 相関およびドリフトの変動に応じて、静的リスク露出と動的ヘッジの結果を比較すること。

提案手法

• 外部リスク過程（例：気温）を、ウィーナー過程 W によって駆動される拡散過程としてモデル化し、ボラティリティを σ とする。
• ウィーナー過程 W と独立なウィーナー過程 B によって駆動される相関する金融資産 P を導入し、相関は β₁² と β₂² を用いて記述する。
• リスク回避をモデル化するため、指数的ユーティリティ U(x) = -exp(-ηx) を用い、動的最適化により無差別価格 p を導出する。
• Feynman-Kac 公式を適用し、無差別価格を p(t,x) = -1/k ln E^Q[exp(-kF(Y_T^{t,x}))] として表現する。ここで k = ηβ₂²/(β₁² + β₂²) である。
• 関連するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を解くことにより、デリバティブ保有下での最適投資戦略 π* と保有なしの戦略 π# を明示的に導出する。
• Girsanov の定理と Novikov の条件を用いて、新たな確率測度 Q̂ を定義し、クロス修正リスク測度が係数 k を持つエントロピックリスク測度に一致するようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的気候リスクにさらされる保険デリバティブに対して、最適な動的ヘッジ戦略をどのように導出できるか。
• RQ2 指数的ユーティリティの下で、このようなデリバティブの明示的無差別価格はどのような形か。
• RQ3 相関する金融資産によるクロスヘッジはリスクをどのように低減し、その低減はどのように定量化されるか。
• RQ4 動的ヘッジが静的リスクと比較してエントロピックリスクを低減する条件は何か。
• RQ5 物理的リスク過程と金融資産との相関が、ヘッジにおけるリスク回避係数にどのように影響するか。

主な発見

• デリバティブの存在下での最適投資戦略は明示的に導出され、リスク過程と金融資産との相関構造に依存することが示された。
• 無差別価格は p(t,x) = -1/k ln E^Q[exp(-kF(Y_T^{t,x}))] で与えられ、k = ηβ₂²/(β₁² + β₂²) である。これは閉形式の解である。
• 動的ヘッジにより、有効なリスク回避係数は η から k < η に低下し、デリバティブが分散化効果を持つ場合、エントロピックリスクが低減する。
• デリバティブ F(X_T) が単調増加であり、ドリフト g が非正である場合、F(X_T) と投資ノイズの間の相関が負であれば、動的ヘッジによりリスクが低減する。
• 金融資産が物理的リスクと無相関（β₁ = 0）である場合、リスク低減は F(X_T) とドリフト g 間の負の相関に依存し、これは必要十分条件である。
• ドリフト g = 0 の場合、動的無差別価格 p は常に静的価格 s よりも大きくなり、この条件下では動的ヘッジがリスクを常に低減することを証明した。