[论文解读] Optimal Download Cost of Private Information Retrieval for Arbitrary Message Length

Hua Sun, Syed A. Jafar|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Cryptography and Data Security参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文確立了具有任意訊息長度與任意字母表的私有信賴檢索（PIR）的最優下載成本。當訊息與下載使用相同的 M 元字母表時，最小下載成本精確為 $ \lceil L/C \rceil $；當使用不同字母表時，成本與 $ \lceil L' / C \rceil $ 的差距不超過 2 個符號，其中 $ L' = \lceil L \log_{M'} M \rceil $，$ C $ 為 PIR 容量。

ABSTRACT

A private information retrieval scheme is a mechanism that allows a user to retrieve any one out of $K$ messages from $N$ non-communicating replicated databases, each of which stores all $K$ messages, without revealing anything about the identity of the desired message index to any individual database. If the size of each message is $L$ bits and the total download required by a PIR scheme from all $N$ databases is $D$ bits, then $D$ is called the download cost and the ratio $L/D$ is called an achievable rate. For fixed $K,N\in\mathbb{N}$, the capacity of PIR, denoted by $C$, is the supremum of achievable rates over all PIR schemes and over all message sizes, and was recently shown to be $C=(1+1/N+1/N^2+\cdots+1/N^{K-1})^{-1}$. In this work, for arbitrary $K, N$, we explore the minimum download cost $D_L$ across all PIR schemes (not restricted to linear schemes) for arbitrary message lengths $L$ under arbitrary choices of alphabet (not restricted to finite fields) for the message and download symbols. If the same $M$-ary alphabet is used for the message and download symbols, then we show that the optimal download cost in $M$-ary symbols is $D_L=\lceil\frac{L}{C} ceil$. If the message symbols are in $M$-ary alphabet and the downloaded symbols are in $M'$-ary alphabet, then we show that the optimal download cost in $M'$-ary symbols, $D_L\in\left\{\left\lceil \frac{L'}{C} ight ceil,\left\lceil \frac{L'}{C} ight ceil-1,\left\lceil \frac{L'}{C} ight ceil-2 ight\}$, where $L'= \lceil L \log_{M'} M ceil$.

研究动机与目标

• 確定在訊息長度 $ L $ 為有限且任意時，私有信賴檢索（PIR）的最小下載成本，不侷限於漸近極限。
• 將先前僅在 $ L \to \infty $ 時有效的 PIR 容量結果，擴展至有限且任意的訊息長度。
• 在訊息與下載使用不同字母表時，特徵描述最優下載成本，不限於有限域。
• 提供與基礎字母表結構無關的下載成本緊緻界限，包括非域字母表。
• 確立先前僅知漸近成立的容量 $ C $，在適當條件下亦可在有限長度設定中精確達成。

提出的方法

• 作者使用資訊理論論證推導出下載成本的下界，顯示當訊息使用 $ M $-元字母表、下載使用 $ M' $-元字母表時，$ D \geq \left\lceil \frac{L \log_2 M}{C \log_2 M'} \right\rceil $。
• 他們設計了一種簡單的 PIR 方案，透過 $ L' = \lceil L \log_{M'} M \rceil $ 個符號能將 $ M $-元訊息映射至 $ M' $-元符號，以保留訊息的唯一表示。
• 該方案使用已知的、能達成容量的 $ M' $-元字母表 PIR 方案，因此在 $ M' $-元符號下的下載成本為 $ \lceil L' / C \rceil $。
• 他們證明此方案的成本與理論下界之間的差距至多為 2 個符號，從而確立界限的緊緻性。
• 分析過程中未限制於線性方案或有限域，允許訊息與下載使用任意字母表。
• 證明利用了 $ C \geq 1/2 $（當 $ N \geq 2 $ 時）的事實，確保上下界之間的差距被限制在 2 個符號以內。

实验结果

研究问题

• RQ1 當訊息長度 $ L $ 為有限且任意時（而非漸近地大），PIR 的最小下載成本為何？
• RQ2 最優下載成本如何依賴於訊息與下載字母表的選擇，特別是當二者不同時？
• RQ3 能否在有限訊息長度下精確達成漸近 PIR 容量 $ C $？若可，需滿足何種條件？
• RQ4 對於有限 $ L $，可達方案與資訊理論下界之間的下載成本差距，其最緊緻的上界為何？
• RQ5 使用非域字母表（例如非質數次冪大小）如何影響 PIR 方案的設計與最優性？

主要发现

• 當訊息與下載使用相同的 $ M $-元字母表時，最優下載成本精確為 $ D_L = \lceil L / C \rceil $，其中 $ C $ 為 PIR 容量。
• 當訊息使用 $ M $-元字母表、下載使用 $ M' $-元字母表時，以 $ M' $-元符號表示的最優下載成本位於集合 $ \left\{ \left\lceil \frac{L'}{C} \right\rceil, \left\lceil \frac{L'}{C} \right\rceil - 1, \left\lceil \frac{L'}{C} \right\rceil - 2 \right\} $ 內，其中 $ L' = \lceil L \log_{M'} M \rceil $。
• 可達速率 $ L/D_L $ 自動被特徵描述，且不可能超過容量 $ C $，但在推導的條件下，對有限 $ L $ 可達等號。
• 下載成本的下界為 $ \left\lceil \frac{L \log_2 M}{C \log_2 M'} \right\rceil $，而所提方案的實現成本與此下界差距不超過 2 個符號。
• 結果適用於任意字母表，不限於有限域，僅依賴模 $ M $ 的直和運算，從而可延伸至非域字母表。
• 分析確認，當 $ L $ 為 $ N^K $ 的倍數時，漸近容量 $ C $ 同樣可在有限長度設定中精確達成；否則提供緊緻界限。