[논문 리뷰] Optimal estimation of some random quantities of a Lévy process

Jevgeņijs Ivanovs, Mark Podolskij|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 08.

Probability and Risk Models참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고주기 관측 자료를 바탕으로 레비 과정의 핵심 기능요소인 최대값, 최소값, 국소시간, 점유시간 측도에 대해 조건부 최적 추정량—특히 조건부 평균과 중앙값—을 제안한다. 이들 추정량은 고전적 방법보다 더 높은 점근적 효율성을 달성하며, 자기유사성과 규칙성 조건 하에서 최대값의 경우 $n^{-1/2}$, 점유시간의 경우 $n^{-3/4}$의 수렴 속도를 보인다.

ABSTRACT

In this paper we present new theoretical results on optimal estimation of certain random quantities based on high frequency observations of a Lévy process. More specifically, we investigate the asymptotic theory for the conditional mean and conditional median estimators of the supremum/infimum of a linear Brownian motion and a stable Lévy process. Another contribution of our article is the conditional mean estimation of the local time and the occupation time measure of a linear Brownian motion. We demonstrate that the new estimators are considerably more efficient compared to the classical estimators. Furthermore, we discuss pre-estimation of the parameters of the underlying models, which is required for practical implementation of the proposed statistics.

연구 동기 및 목표

• 고주기 통계에서 레비 과정의 랜덤 기능요소에 대한 최적성 이론의 부재를 해결하기 위해.
• 선형 브라운 운동과 안정 레비 과정의 최대값, 최소값, 국소시간, 점유시간 측도에 대해 점근적으로 효율적인 추정량을 개발하기 위해.
• 고전적 추정량(예: 관측값의 최대값)은 비록 속도 최적화는 되지만 점근적으로 효율적이지 않다는 것을 입증하기 위해.
• 실제 적용을 위한 제안된 통계량의 구현에 필요한 모델 파라미터의 사전 추정을 위한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 안정 과정에서 양수로 머무르는 조건부에 대한 이론적 결과를 확장하고, 퇴출 확률에 대한 균일한 경계를 도출하기 위해.

제안 방법

• 모든 $Q$에 대해 $\mathbb{E}[Q^2] < \infty$ 이면 조건부 평균 $\mathbb{E}[Q \mid (X_{i/n})_{i=0}^n]$ 이 $L^2$-예측에서 최적임을 이용하고, $\mathbb{E}[|Q|] < \infty$ 이면 조건부 중앙값 $\text{med}[Q \mid (X_{i/n})_{i=0}^n]$ 이 $L^1$-예측에서 최적임을 이용한다.
• 레비 과정이 양수로 머무르도록 조건부로 지정된 법을 기술하기 위해 $h$-변환과 두브의 $h$-변환 표현을 적용한다.
• 안정 레비 과정의 자기유사성과 스케일링 성질을 활용하여, 조건부 하에서 최대값과 최소값의 尾 확률에 대한 균일한 경계를 유도한다.
• 관측 빈도가 증가함에 따라 조건부 분포의 수렴을 분석함으로써 조건부 추정량에 대한 약한 극한 정리들을 도출한다.
• 레비 과정 $X$가 양수로 머무르도록 조건부로 지정된 과정으로서 펠러 과정 표현 $X^\uparrow$ 를 사용하고, $\mathbb{P}^\uparrow_x(\sup_{h\in[0,1]}|X_{1+h}-X_h| > v)$ 에 대한 경계를 도출한다.
• 레비 밀도의 정규화 및 渐近 분석을 활용하여 퇴출 및 최대값 분포의 尾 행동을 경계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 과정의 최대값과 최소값에 대한 조건부 평균 및 중앙값 추정량은 고전적 추정량보다 더 높은 점근적 효율성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 고주기 관측 자료로부터 선형 브라운 운동의 국소시간과 점유시간 측도를 추정할 때 최적의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 고주기 샘플링 하에서 조건부 추정량의 점근적 분포는 어떻게 행동하는가? 그들의 극한 법칙은 무엇인가?
• RQ4 안정 레비 과정이 양수로 머무르도록 조건부로 지정되었을 때, 최대값과 최소값의 尾 확률에 대한 균일한 경계는 무엇인가?
• RQ5 제안된 조건부 추정량의 실용적 구현을 가능하게 하기 위해 모델 파라미터를 어떻게 사전 추정할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 브라운 운동과 안정 레비 과정의 최대값과 최소값에 대한 조건부 평균 및 중앙값 추정량은 고주기 관측 자료에서 기반한 고전적 추정량보다 점근적으로 더 효율적이다.
• 안정 레비 과정의 최대값에 대해 제안된 추정량은 최적의 수렴 속도인 $n^{-1/2}$ 를 달성하며, 이는 고전적 추정량과 동일한 속도를 보이지만 효율성이 향상된다.
• 점유시간 측도에 대해 제안된 추정량은 최적의 수렴 속도인 $n^{-3/4}$ 를 달성하며, [38]의 결과와 일치하지만 조건부화를 통해 효율성이 향상된다.
• 이 논문은 $x > v > 0$ 에 대해 균일한 경계 $\mathbb{P}^\uparrow_x(\sup_{h\in[0,1]}|X_{1+h}-X_h| > v) \leq c v^{-\alpha}$ 를 확립하였으며, 여기서 $\alpha \in (0,2)$ 는 안정성 지수이다. 이는 조건부 과정이 무거운 尾 확률을 가진 증분을 가짐을 보여준다.
• 조건부 중앙값 추정량은 $Q$ 의 두 번째 모멘트가 무한대일 경우에도 $L^1$-기준에서 최적이므로, 더 넓은 범위의 기능요소에 적용 가능하다.
• 결과는 국소시간과 점유시간 측도로까지 확장되며, 이 경우 조건부 평균 추정량이 기존의 커널 또는 리만 합 기반 추정량보다 더 효율적임을 입증한다.