[論文レビュー] Optimal estimation of the rough Hurst parameter in additive noise

Grégoire Szymanski|arXiv (Cornell University)|May 25, 2022

Financial Risk and Volatility Modeling被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、加法的ノイズを伴う離散的高頻度観測下における分数 Browndian 力学的運動における粗い Hurst パラメータ $H \in (0,1)$ の最適推定を確立する。ノイズ強度 $\tau_n$ が消えない場合の最小最大収束速度 $(n/\tau_n^2)^{-1/(4H+2)}$ を導出し、前平均化を用いた最適な Whittle 型推定量を構成し、LAN 性質と Hajek の畳み込み定理を用いて漸近正規性と最適性を証明する。

ABSTRACT

We estimate the Hurst parameter $H \in (0,1)$ of a fractional Brownian motion from discrete noisy data, observed along a high frequency sampling scheme. When the intensity $τ_n$ of the noise is smaller in order than $n^{-H}$ we establish the LAN property with optimal rate $n^{-1/2}$. Otherwise, we establish that the minimax rate of convergence is $(n/τ_n^2)^{-1/(4H+2)}$ even when $τ_n$ is of order 1. Our construction of an optimal procedure relies on a Whittle type construction possibly pre-averaged, together with techniques developed in Fukasawa et al. [Is volatility rough? arXiv:1905.04852, 2019]. We establish in all cases a central limit theorem with explicit variance, extending the classical results of Gloter and Hoffmann [Estimation of the Hurst parameter from discrete noisy data. The Annals of Statistics, 35(5):1947-1974, 2007].

研究の動機と目的

• 観測値が加法的ノイズによって汚染される場合の分数 Browndian 動作における Hurst パラメータ $H$ の推定における最小最大収束速度を確立すること。
• 一般のノイズレベル $\tau_n$ を想定した高頻度観測下における統計的に最適な推定手順を開発すること。
• 古典的 Whittle 推定および LAN 理論を、消えないかゆっくり減少するノイズの状況に拡張すること。
• LAN 性質と Hajek の畳み込み定理を用いて、提案された推定量の漸近正規性と最適性を証明すること。
• 従来 $H > 1/2$ の場合にのみ知られていた、$H < 1/2$ の場合におけるノイズあり設定下での最適性の未解決問題を解消すること。

提案手法

• 観測ノイズの影響を軽減するために、2段階手続きで調整された前平均化技術を提案する。
• 増分過程のスペクトル密度に基づく Whittle 型推定量を構築し、ノイズモデルに適応させる。
• 修正されたスペクトル密度モデル $f_{H,\sigma}^n(\lambda) = \frac{\sigma^2}{n^{2\gamma(H)}}f_H(\lambda) + \tau_n^2 l(\lambda)$ を用い、i.i.d. ノイズの場合には $\gamma(H) = H$ とする。
• Fukasawa ら [FTW19] および Gloter と Hoffmann [GH07] の技術を応用し、スペクトルおよび経験過程の構造を扱う。
• $\tau_n n^{\gamma(H)} \to 0$ の条件下で LAN 性質を確立し、漸近的効率性を保証する。
• 明示的な分散を伴う中心極限定理を証明し、Hajek の畳み込み定理を用いて最小最大速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測値が強度 $\tau_n$ の加法的ノイズによって汚染される場合、分数 Browndian 動作における Hurst パラメータ $H$ の推定における最適収束速度は何か？
• RQ2 ノイズ強度 $\tau_n$ が $n \to \infty$ 時に消えない場合に、古典的 Whittle 推定量を最適性を保つように適応できるか？
• RQ3 $H < 1/2$ の場合に観測ノイズ下で収束速度 $n^{-1/(4H+2)}$ が最適であるか、かつ $H > 1/2$ に限られていた従来の結果を拡張できるか？
• RQ4 ノイズあり高頻度設定下でも LAN 性質が成立するか？ また、それが漸近的効率性の証明に用いられるか？
• RQ5 ノイズが持続的またはゆっくり減少する場合に、前平均化手順により最適推定性能を回復できるか？

主な発見

• $H$ の推定における最小最大収束速度は $(n/\tau_n^2)^{-1/(4H+2)}$ であり、$\tau_n = 1$ の場合には $n^{-1/(4H+2)}$ に簡略化され、$H \in (0,1)$ 全体、特に $H < 1/2$ の場合にも成立する。
• $\tau_n n^H \to 0$ のとき、最適速度は $n^{-1/2}$ であり、LAN 性質が成立し、漸近的効率性が保証される。
• 最適推定量 $\widehat{H}_n^{\text{opt}}$ は速度 $n^{1/(4H+2)}$ を達成し、非退化漸近分散を伴う中心極限定理を満たす。
• 推定量の漸近分散は明示的に導出され、$H$ に依存する。これは Gloter と Hoffmann の結果をノイズあり状況に拡張したものである。
• 条件 $\tau_n n^H \to 0$ の下で LAN 性質が確立され、Hajek の畳み込み定理を用いて速度の最適性が証明された。
• 前平均化技術により、$\tau_n$ が 1 のオーダーであっても一貫性と最適速度の回復が可能となり、文献における長年のギャップが解消された。