[論文レビュー] Optimal execution with nonlinear transient market impact

Gianbiagio Curato, Jim Gatheral+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Economic theories and models被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、取引レートに関して凹型の市場インパクトを伴う非線形一時的市場インパクト下での最適実行問題を解くために、離散ホモトピー解析法（DHAM）と数値最適化を提案する。凹型インパクト下ではフロントローディング戦略がコストを最小化することを示し、強い非線形性下では従来の手法が失敗するが、Bid-Askスプレッドによる正則化または凸型インパクトによって負の期待コストを防ぐことができる。

ABSTRACT

We study the problem of the optimal execution of a large trade in the presence of nonlinear transient impact. We propose an approach based on homotopy analysis, whereby a well behaved initial strategy is continuously deformed to lower the expected execution cost. We find that the optimal solution is front loaded for concave impact and that its expected cost is significantly lower than that of conventional strategies. We then consider brute force numerical optimization of the cost functional; we find that the optimal solution for a buy program typically features a few short intense buying periods separated by long periods of weak selling. Indeed, in some cases we find negative expected cost. We show that this undesirable characteristic of the nonlinear transient impact model may be mitigated either by introducing a bid-ask spread cost or by imposing convexity of the instantaneous market impact function for large trading rates.

研究の動機と目的

• 市場インパクトが非線形的かつ一時的である場合の最適実行の課題に取り組むこと。これは、従来の線形モデルでは埋められない重要なギャップである。
• 強い非線形性または細かい時間分割下でDangの固定点アルゴリズムに見られる収束問題を克服すること。
• 凹型インパクト下で期待コストを最小化する最適実行戦略を計算するための堅牢な手法を開発すること。
• 非線形モデルにおける負の期待コストという問題を特定・解消すること。これは価格操作を示唆する。
• 現実的でアービタージュのない市場インパクトモデル化のための正則化技術（Bid-Askスプレッドまたは凸型インパクト関数）を提供すること。

提案手法

• 初期戦略を良好な初期推定値から出発し、コストを低減する解へと連続的に変形する離散ホモトピー解析法（DHAM）を適用する。
• 実証的観察を反映するため、$ f(v) \propto v^\delta $ というべき乗則インパクト関数（$ \delta < 1 $）を用いて、即時の凹型インパクトをモデル化する。
• Dangの固定点手法から導かれる非線形積分方程式としてコスト最小化問題を定式化し、ホモトピー変形によりこれを解く。
• 順次二次計画法（SQP）を用いた数値最適化を実装し、DHAMとの比較と結果の妥当性を検証する。
• 負の期待コストを排除するために、Bid-Askスプレッドコストを導入する、または大きな取引レートにおけるインパクト関数の凸性を強制する正則化を導入する。
• HAMフレームワーク内で高次補正を計算する再帰的ホモトピー微分公式を用い、べき乗則インパクト関数の非線形性に対処する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー解析法（DHAM）は、強い非線形的一時的インパクト下でも安定的かつ収束する解を最適実行問題に提供できるか？
• RQ2 凹型インパクト下では最適実行戦略はどのように振る舞い、理論予測通りフロントローディングを示すか？
• RQ3 Dangの固定点アルゴリズムはなぜ強い非線形性または細かい時間分割下で収束しなくなるのか？
• RQ4 非線形的一時的インパクトモデルで負の期待コストが生じる原因は何か？そして正則化によってこれを排除できるか？
• RQ5 さまざまな非線形度下で、DHAMとSQPの解は収束性、安定性、コスト最小化の観点からどのように比較できるか？

主な発見

• DHAMは、Dangの固定点法が収束に失敗する強い非線形領域でも、信頼性の高い収束を示す。
• 凹型インパクト（$ \delta < 1 $）下では最適戦略はフロントローディングとなり、従来の戦略と比較して期待実行コストを顕著に低減する。
• SQPによる数値最適化は、取引レートの振動を示す解や、一部のケースでは負の期待コストを示す解を明らかにした。これは価格操作を示唆する。
• 負の期待コスト現象は、即時のインパクト関数の非凸性に起因し、Bid-Askスプレッドコストの追加によって緩和される。
• 大きな取引レートにおけるインパクト関数に凸性を課えることで、負の期待コストはさらに排除され、経済的妥当性が保証される。
• 弱い非線形領域では、DHAMとDangの手法がほぼ同一の解を生成し、提案手法の正確性が裏付けられる。