[論文レビュー] Optimal growth of frequently hypercyclic entire functions

David Drasin, Eero Saksman|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、微分作用素の下で頻繁に超巡回的であるような整関数を、最適な成長率で構成する。具体的には、任意の $ c>0 $ に対して $ M_f(r) \leq c e^r r^{-1/4} $ を満たし、これは最も鋭い可能性のあるレートである。構成には、Rudin-Shapiro多項式およびde la Vallée-Poussin多項式、熱核推定、ブロック分解を用い、成長を制御するとともに頻繁なユニバーサル性を保証する。

ABSTRACT

We solve a problem posed by A. Bonilla and K.-G. Grosse-Erdmann by constructing an entire function $f$ that is frequently hypercyclic with respect to the differentiation operator, and satisfies $M_f(r)\leq\displaystyle ce^r r^{-1/4}$, where $c>0$ be chosen arbirarily small. The obtained growth rate is sharp. We also obtain optimal results for the growth when measured in terms of average $L^p$-norms. Among other things, the proof applies Rudin-Shapiro polynomials and heat kernel estimates.

研究の動機と目的

• 微分作用素の下で頻繁に超巡回的となる整関数の最小成長率に関する、BonillaとGrosse-Erdmannが提起した問題を解決すること。
• 最大モジュラス $ M_f(r) $ および $ L^p $-ノルムを用いた、このような関数の成長に対する鋭い上界を確立すること。
• 従来知られていた上界が最適でないことを示し、最良の崩壊レートを達成する例を構成すること。
• 異なる $ L^p $-ノルムにおける成長率に関する結果を統合・拡張し、特に $ p=\infty $、$ p \in [2,\infty] $、$ p \in (1,2] $ の臨界ケースを区別すること。

提案手法

• 各ブロック $ f_k = \sum_{n \in \mathcal{A}_k} P_n f $ を用いて整関数 $ f $ を無限和として構成し、各 $ P_n f $ は台と係数が制御された多項式とする。
• $ p \in [2,\infty] $ の場合にRudin-Shapiro多項式、$ p \in (1,2] $ の場合にde la Vallée-Poussin多項式を用い、$ L^p $-ノルムの性質と最小のノルムを活用する。
• 各ブロック $ P_n f $ の最大モジュラスを抑え、$ r $ における崩壊を保証するために、熱核推定と三つの円の定理（ハダマールの定理）を適用する。
• パラメータ $ \alpha_k $ を用いてブロックの間隔を調整し、干渉を避け、独立性を維持するように、$ f $ の成長を制御する。
• Hausdorff-Youngの不等式とスターリングの公式を用いて、$ M_{f,p}(r) $ の下界を導出し、構成された成長率の最適性を証明する。
• $ L^1 $-ノルムの場合、$ \phi(r) \to \infty $ となるゆっくり成長する因子を組み込み、$ \limsup_{r\to\infty} r^{1/2} e^{-r} M_{f,1}(r) = \infty $ を満たす鋭さ条件に一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分作用素の下で頻繁に超巡回的となる整関数の、最も遅い成長率は何か？
• RQ2 従来知られていた成長上界、例えば $ M_f(r) \leq e^r \phi(r) r^{-1/4} $ は、$ \phi(r) $ 要素を除去して改善可能か？
• RQ3 $ p \in (1,\infty] $ の場合、最適な成長率はどの $ L^p $-ノルムに依存するか？
• RQ4 成長率 $ M_f(r) \leq c e^r r^{-1/4} $（任意の $ c>0 $）は鋭いか？ また、1つの整関数で達成可能か？
• RQ5 Rudin-Shapiro多項式やde la Vallée-Poussin多項式といった古典的多項式は、最適成長を持つ関数の構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の $ c>0 $ に対して、$ D $-頻繁に超巡回的整関数 $ f $ が存在し、すべての $ r>0 $ に対して $ M_f(r) \leq c e^r r^{-1/4} $ を満たす。この上界は最適である。
• 成長率 $ M_f(r) \leq c e^r r^{-1/4} $ は鋭く、すべての関数が $ \limsup_{r\to\infty} r^{1/4} e^{-r} M_f(r) > 0 $ を満たす必要がある。
• $ p \in (1,2] $ の場合、最適な成長は $ M_{f,p}(r) \leq c e^r r^{-1/(2p)} $ であり、$ p \in [2,\infty] $ の場合、$ M_{f,p}(r) \leq c e^r r^{-1/4} $ であり、両者とも鋭い。
• $ L^1 $-ノルムの場合、最適な成長は $ M_{f,1}(r) \leq \phi(r) e^r r^{-1/2} $（任意の $ \phi(r) \to \infty $）であり、$ \limsup_{r\to\infty} r^{1/2} e^{-r} M_{f,1}(r) = \infty $ であることから、鋭さが保証される。
• 構成された関数は $ r>1 $ に対して $ M_{f,p}(r) \asymp e^r r^{-\max(1/(2p), 1/4)} $ を満たし、崩壊レートの最適性が確認される。
• 各ブロック $ P_n f $ を適切に間隔を開けて配置した関数のブロック構造は、独立性を維持し、ハダマールの三つの円の定理を成長推定に適用可能にするために不可欠である。