[論文レビュー] Optimal H2 order-one reduction by solving eigenproblems for polynomial equations

Bernard Hanzon, J.M. Maciejowski+1 more|ArXiv.org|Jun 13, 2007

Numerical methods for differential equations参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、SISO安定線形系のH₂次数1モデル低減に対して、局所的最小値を回避する代数的構成手法を提示する。一次最適性条件から導かれる固有値問題を解くことで、グレブナー基底の構築と線形代数を用いて、グローバル最適性を保証する。従来の代数的手法と比較して、計算コストを著しく削減し、高次系の効率的解法を可能にする。

ABSTRACT

A method is given for solving an optimal H2 approximation problem for SISO linear time-invariant stable systems. The method, based on constructive algebra, guarantees that the global optimum is found; it does not involve any gradient-based search, and hence avoids the usual problems of local minima. We examine mostly the case when the model order is reduced by one, and when the original system has distinct poles. This case exhibits special structure which allows us to provide a complete solution. The problem is converted into linear algebra by exhibiting a finite-dimensional basis for a certain space, and can then be solved by eigenvalue calculations, following the methods developed by Stetter and Moeller. The use of Buchberger's algorithm is avoided by writing the first-order optimality conditions in a special form, from which a Groebner basis is immediately available. Compared with our previous work the method presented here has much smaller time and memory requirements, and can therefore be applied to systems of significantly higher McMillan degree. In addition, some hypotheses which were required in the previous work have been removed. Some examples are included.

研究の動機と目的

• 勾配ベースの手法に内在する局所的最小値を回避するグローバル最適なH₂モデル低減手法の開発。
• 極が相異なる場合に特に有効な、SISO安定系の次数1低減におけるH₂近似問題の解法。
• 従来の研究で制限的であった技術的仮定（臨界点の有限性など）を排除しつつ、グローバル最適性を維持すること。
• 従来の代数的手法よりも計算効率の高い代替手法を提供し、より高次のMcMillan次数を持つ系への応用を可能にすること。
• 低減1次問題の構造に関する理論的洞察を提供すること、特に臨界点の上限が2^N - 1であることを示すこと。

提案手法

• H₂近似問題を、伝達関数形式における一次最適性条件から導かれる多項方程式系に変換する。
• 定義多項式がグレブナー基底をなす特殊構造（「対角二次」方程式）を活用し、ブルーチャーのアルゴリズムを用いずに直接解を得る。
• 解空間が有限次元であることが示され、線形代数的手法により固有値問題に還元可能である。
• 系のデータから行列を構築し、これらの行列に対する一般化固有値問題を解くことで最適近似器を特定する。
• 数値的勾配最適化を回避し、代わりに記号計算と数値的固有値ソルバに依存することで、計算の効率性と正確性を確保する。
• 例題（緩和系を含む）を用いた検証と、臨界値行列に基づく代替アルゴリズムとの比較により、有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復的勾配最適化に依存せずに、グローバル最適なH₂次数1低減を計算可能か？
• RQ2 H₂低減1次問題における臨界点の最大数は何か？また、その上限は示せるか？
• RQ3 代数的手法によるH₂モデル低減の計算複雑性を、グローバル最適性を保ちつつ著しく低減可能か？
• RQ4 アルゴリズムが失敗する条件は何か？特に固有ベクトルの数値的不安定性や実Hurwitz安定性との関係において。
• RQ5 本手法を極が重複する系や高次低減に拡張可能か？また、どのような理論的洞察を提供するか？

主な発見

• 極が相異なるSISO安定系に対して、H₂次数1低減においてグローバル最適性を保証し、勾配ベース手法に内在する局所的最小値を回避する。
• 低減1次問題における臨界点の数は最大で2^N - 1個であり、有限かつ有界な解空間を提供する。
• N=5の場合、α ∈ [0.38, 0.79] では最適近似器が正常に計算可能であり、(0, 0.38) および (0.79, 1) では固有ベクトルの悪条件性または非実Hurwitz解のため失敗する。
• α=0.78の場合、相対誤差1.96%の単一の妥当な解が得られ、近似器が緩和系として確認された。
• 従来の代数的アプローチよりも計算効率が高く、より高次のMcMillan次数を持つ系の解法を可能にする。
• 固有値ベースと臨界値行列ベースの両アルゴリズムは一貫性のある結果を示すが、数値精度の観点からα=1に近い領域では固有値ベースの手法がより頑健である。