[論文レビュー] Optimal linear stability condition for scalar differential equations with distributed delay

Samuel Bernard, Fabien Crauste|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 50被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、分散遅れを伴うスカラー線形微分方程式について、対応する単一の離散遅れを伴う方程式が安定であるならば、その場合に限り、漸近的安定性が保証されることを確立している—分布に依存しない安定性基準を提供する。主な貢献は、離散遅れが最も不安定化させるケースであるため、離散遅れでの安定性が、同じ平均を持ついかなる分散遅れに対しても安定性を保証することである。

ABSTRACT

Linear scalar differential equations with distributed delays appear in the study of the local stability of nonlinear differential equations with feedback, which are common in biology and physics. Negative feedback loops tend to promote oscillations around steady states, and their stability depends on the particular shape of the delay distribution. Since in applications the mean delay is often the only reliable information available about the distribution, it is desirable to find conditions for stability that are independent from the shape of the distribution. We show here that for a given mean delay, the linear equation with distributed delay is asymptotically stable if the associated differential equation with a discrete delay is asymptotically stable. We illustrate this criterion on a compartment model of hematopoietic cell dynamics to obtain sufficient conditions for stability.

研究の動機と目的

• 遅れ分布の形状に依存しない、分散遅れを伴うスカラー線形微分方程式の安定性条件を特定すること。
• 生物学的・物理的モデルでは、通常は平均遅れしか得られないが、分布の全形状は不明であるという課題に対処すること。
• このようなシステムにおいて、離散遅れが最も不安定化させる分布であるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• ヘマトポエシス細胞動態のようなモデルに適用可能な、実用的で計算が容易な安定性基準を提供すること。
• 離散遅れでの安定性が、同じ平均を持つ任意の分散遅れに対しても安定性を保証することを示すこと。

提案手法

• 分散遅れを伴うスカラー関数微分方程式の線形化形を分析：$ \dot{x} = -a x - b \int_0^\infty x(t - \tau) \, d\eta(\tau) $、ここで $ \eta $ は累積分布関数である。
• 平均 $ \mu $ を持つ単一の離散遅れ $ \tau = \mu $ を伴う同等のシステムと、分散遅れシステムの安定性を比較する。
• 線形遅れ関数微分方程式の理論と固有値解析を用いて、漸近的安定性の条件を導出する。
• 線形化されたシステムから導かれる特性方程式を用い、離散遅れと分散遅れの両ケースにおける固有値の位置を比較する。
• 特定のケース（指数分布やガンマ分布など）では、ニキルト基準と小利得定理を用いて一般結果を検証する。
• ヘマトポエシス幹細胞動態のコンpartimentモデルを用いて、理論的結果を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散遅れを伴う線形スカラー微分方程式の安定性は、遅れ分布の形状に依存するか？
• RQ2 分布の全形状を知らなくてもよい、平均遅れのみに依存する安定性条件を導出可能か？
• RQ3 このようなシステムにおいて、離散遅れが最も不安定化させる遅れ分布であるか？
• RQ4 離散遅れでの安定性が、同じ平均を持つ任意の分散遅れに対しても安定性を保証するか？
• RQ5 この結果は、フィードバックループを有するヘマトポエシス細胞動態のような生物学的モデルにどのように適用可能か？

主な発見

• 任意の与えられた平均遅れ $ \mu $ に対して、単一の離散遅れ $ \tau = \mu $ を伴う線形方程式が漸近的に安定であるならば、同じ平均を持つ任意の分散遅れを伴う方程式に対しても、漸近的に安定である。
• 離散遅れ分布は最も不安定化させる：もしシステムが離散遅れで不安定であるならば、同じ平均を持つ任意の分散遅れに対しても不安定のままである。
• 中立的または負の協同性を示すヘマトポエシス細胞モデルでは、中立的協同性（$ r=1 $）の場合、条件 $ E_p := \sum_{i=1}^3 p_i \frac{q_i}{\beta_i} < \frac{k_0 \pi}{2 \alpha h(k_0 - \alpha)} $ が成立する限り、正の平衡状態は線形漸近的に安定である。
• 負の協同性（$ 0 \leq r < 1 $）の場合、正の平衡状態は $ \bar{x}^{h+1-r} \leq \frac{k_0(1-r)}{\alpha h} $ を満たすか、あるいはこの不等式が成立しないが条件（31）が成立する場合に安定である。
• 数値シミュレーションにより、分散遅れシステムは離散遅れシステムが安定な点で安定を保つが、逆は成り立たないことが確認された—これにより、離散遅れがより不安定化させることが裏付けられた。
• この結果から、実験的に観察された周期的振動を再現することは、分散遅れを用いる場合の方が離散遅れを用いる場合よりも困難であることが示唆される。なぜなら、振動は平衡状態の不安定化を要するからである。