[論文レビュー] Optimal locally repairable codes via elliptic curves

Xudong Li, Liming Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Coding theory and cryptography被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限体上の楕円曲線の自己同型群を活用して、$q+1$ を超えるコード長を持つ最適な $q$-元局所修理可能コードを構成する。特定の自己同型群の部分群の固定部分体を選び、有理点上で関数を評価することにより、コード長が $q + 2\sqrt{q}$ まで達する。局所性 $r \leq 23$ であり、Singleton型の境界を満たす最適距離を達成する。

ABSTRACT

Constructing locally repairable codes achieving Singleton-type bound (we call them optimal codes in this paper) is a challenging task and has attracted great attention in the last few years. Tamo and Barg \cite{TB14} first gave a breakthrough result in this topic by cleverly considering subcodes of Reed-Solomon codes. Thus, $q$-ary optimal locally repairable codes from subcodes of Reed-Solomon codes given in \cite{TB14} have length upper bounded by $q$. Recently, it was shown through extension of construction in \cite{TB14} that length of $q$-ary optimal locally repairable codes can be $q+1$ in \cite{JMX17}. Surprisingly it was shown in \cite{BHHMV16} that, unlike classical MDS codes, $q$-ary optimal locally repairable codes could have length bigger than $q+1$. Thus, it becomes an interesting and challenging problem to construct $q$-ary optimal locally repairable codes of length bigger than $q+1$. In the present paper, we make use of rich algebraic structures of elliptic curves to construct a family of $q$-ary optimal locally repairable codes of length up to $q+2\sqrt{q}$. It turns out that locality of our codes can be as big as $23$ and distance can be linear in length.

研究の動機と目的

• コード長が $q+1$ を超える $q$-元最適局所修理可能コードを構成すること。これはかつて理論的上限とされていた。
• リード・ソロモンコードおよびその拡張に基づく従来の構成法の長さ制限（$q$ や $q+1$ まで）を克服すること。
• 特に自己同型群と有理点の分布を特徴とする、有限体上の楕円曲線の豊富な代数的構造を活用し、より長いコード長を実現すること。
• 小さなアルファベットサイズと実用的な局所性パラメータを維持しながら、局所修理可能コードの最適距離を達成すること。
• 特に $a$ が偶数である特定の素数冪 $q=p^a$ に対して、$q$-元最適局所修理可能コードが $q+1$ の古典的境界を超えて存在可能であることを示すこと。

提案手法

• Weierstrass方程式で定義される最大の楕円曲線 $\mathfrak{E}/\mathbb{F}_q$ とその自己同型群 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{E}/\mathbb{F}_q)$ を用いる。
• 自己同型群の部分群 $\mathcal{G}$ を選択し、$x$-座標の軌道のサイズが 2 になるようにすることで、局所性 $r=2$ あるいは奇数 $r$ を保証する。
• 関数体 $\mathbb{F}_q(\mathfrak{E})$ の部分体 $F$ を $\mathcal{G}$ の作用による固定体として構成し、$F$ および $\mathbb{F}_q(\mathfrak{E})$ からの関数を選んで評価する。
• 有理点上でこれらの関数を評価することで代数幾何コードを定義し、評価点の数がコード長を決定する。
• コード長は $\mathfrak{E}$ の有理点の数によって制限され、最大曲線では $q + 1 + 2\sqrt{q}$ となる。これにより、長さが $q + 2\sqrt{q}$ まで達する。
• 奇数の局所性 $r$ の場合、$x$-座標に特定の軌道構造を持つ $r+1$ 階の部分群を用い、命題 4.4 および具体的な例により構成を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コード長が $q+1$ を超える $q$-元最適局所修理可能コードを構成することは可能か？
• RQ2 有限体および代数曲線のどの代数的構造が、最適局所修理可能コードにおける $q+1$ の長さの障壁を乗り越えるために利用可能か？
• RQ3 楕円曲線の自己同型群をどのように用いることで、局所性を制御し、Singleton型境界の最適性を保証できるか？
• RQ4 このような構成が存在するための $q=p^a$ および局所性 $r$ に対する必要条件は何か？
• RQ5 $r > 2$ かつ長さが $q + 2\sqrt{q}$ までの最適局所修理可能コードの明示的構成は可能か？

主な発見

• 本稿は、長さが $q + 2\sqrt{q}$ まで達する $q$-元最適局所修理可能コードを構成し、以前の上限 $q+1$ を上回ることを示した。
• $p=3$ または $p \equiv 2 \pmod{3}$ かつ $a$ が偶数である $q = p^a$ の場合、局所性 $r=2$ で $\ell \leq \left\lfloor \frac{q+2\sqrt{q}}{3} \right\rfloor$ を満たす最適 $[n=3\ell, k=2t+1, d=n-3t]$ コードが存在する。
• 奇数の局所性 $r=3,5,7,11,23$ に対して、$p$ と $r$ に特定の条件を満たす場合、最適 $[n=(r+1)\ell, k=r(t-1)+1, d=n-(t-1)(r+1)]$ コードが存在し、$\ell \leq \left\lfloor \frac{q+2\sqrt{q}-r-2}{r+1} \right\rfloor$ を満たす。
• $q=64$ の場合、局所性 $r=3$ の $[80, 3t+2, 80-4(t-1)]$ コードが $1 \leq t \leq 20$ に対して得られ、曲線の有利な構造のおかげで定理 1.2 の理論的境界を上回る。
• コードはSingleton型境界に等号を満たすことで最適距離を達成しており、コードが最適であることを確認した。
• 従来のリード・ソロモンコードおよびその拡張に基づく構成法を自然に一般化し、実用的なアルファベットサイズでより長いコードを実現できた。