[論文レビュー] Optimal prior for Bayesian inference in a constrained parameter space

Steen Hannestad, Thomas Tram|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2017

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、1次元の制約を伴う多変量正規分布における最適なジェフリーズ事前分布を導出し、このような条件下では一様事前分布が非効率であることを示している。ニュートリノ質量和 $Σm_ν$ およびテンソル対スカラー比 $r$ に対して、補正された事前分布により、68%および95%のベイズ的上限がそれぞれ9%および4%（$Σm_ν$ について）、22%および3%（$r$ について）上昇する。事前分布の統合には重要度サンプリングが用いられている。

ABSTRACT

Bayesian parameter inference depends on a choice of prior probability distribution for the parameters in question. The prior which makes the posterior distribution maximally sensitive to data is called the Jeffreys prior, and it is completely determined by the response of the likelihood to changes in parameters. Under the assumption that the likelihood is a Gaussian distribution, the Jeffreys prior is a constant, i.e. flat. However, if one parameter is constrained by physical considerations, the Gaussian approximation fails and the flat prior is no longer the Jeffreys prior. In this paper we compute the correct Jeffreys prior for a multivariate normal distribution constrained in one dimension, and we apply it to the sum of neutrino masses $Σm_ν$ and the tensor-to-scalar ratio $r$. We find that one-dimensional marginalised posteriors for these two parameters change considerably and that the 68% and 95% Bayesian upper limits increase by 9% and 4% respectively for $Σm_ν$ and 22% and 3% for $r$. Adding the prior to an existing chain can be done as a trivial importance sampling in the final step of the analysis proces.

研究の動機と目的

• 多変量正規尤度が1次元で制約を受ける状況において、正しいジェフリーズ事前分布を導出すること。これにより一様事前分布の仮定が破られる。
• 宇宙論的パラメータの後験的推論に、正しいジェフリーズ事前分布を用いることで得られる影響を定量化すること。
• 既存のMCMCチェインに新しい事前分布を簡易な重要度サンプリングステップを用いて実装可能にするための手法を提供すること。
• パラメータの制約が、ベイズ推論におけるデータへの後験的分布の感受性にどのように影響を与えるかを評価すること。

提案手法

• フィッシャー情報行列を用いて、1次元の制約を伴う多変量正規尤度のジェフリーズ事前分布を導出する。
• 事前分布を、制約付きフィッシャー情報行列の行列式の平方根に比例する形で計算する。
• 導出された事前分布を、ニュートリノ質量和 $Σm_ν$ およびテンソル対スカラー比 $r$ の2つの宇宙論的パラメータに適用する。
• 既存のMCMCチェインを再重み付けすることで、重要度サンプリングを用いて新しい事前分布に基づく後験的分布を再計算する。
• 尤度のガウス近似を用いて事前分布を導出するが、パラメータ空間における制約に起因する歪みを補正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の物理的制約が、多変量正規モデルにおけるジェフリーズ事前分布にどのように影響を与えるか？
• RQ2 正しいジェフリーズ事前分布を一様事前分布の代わりに用いることで、$Σm_ν$ および $r$ の後験的上限にどのような定量的影響が生じるか？
• RQ3 再シミュレーションを実行せずに、既存のMCMCチェインに新しい事前分布を効率的に適用できるか？
• RQ4 制約下で正しいジェフリーズ事前分布を用いる場合、後験的分布のデータへの感受性はどの程度変化するか？

主な発見

• 制約付き多変量正規分布におけるジェフリーズ事前分布は、元の尤度がガウス分布であっても、もはや一様ではない。
• ニュートリノ質量和 $Σm_ν$ に対して、正しいジェフリーズ事前分布を用いることで、68%ベイズ的上限が9%上昇し、95%上限が4%上昇する。
• テンソル対スカラー比 $r$ に対しては、68%上限が22%上昇し、95%上限が3%上昇する。
• 既存のMCMCチェインに単一の重要度サンプリングステップを追加するだけで、新しい事前分布を効率的に適用可能であり、後験的分布の再重み付けが可能である。
• 補正により後験的推論が顕著に変化し、物理的制約下では一様事前分布が非効率であることが示された。