[논문 리뷰] Optimal robust bounds for variance options

Alexander M. G. Cox, Jiajie Wang|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 40인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 스토케로호드 임bedding 문제의 해를 이용하여 모델에 종속되지 않는 분산 옵션에 대한 최적의 상한을 설정한다. 특히 로스트와 콘카의 구성 방식을 활용한다. 이러한 상한의 최적성은 증명되었으며, 모델 불확실성에 강건한 초과 헤지 전략이 유도되었다. 수치 계산 방법이 제시되었고, 장기 만기일 경우 헤스톤-난디 모델이 점점 극한에 가까워지는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

Robust, or model-independent properties of the variance swap are well-known, and date back to Dupire and Neuberger, who showed that, given the price of co-terminal call options, the price of a variance swap was exactly specified under the assumption that the price process is continuous. In Cox and Wang we showed that a lower bound on the price of a variance call could be established using a solution to the Skorokhod embedding problem due to Root. In this paper, we provide a construction, and a proof of optimality of the upper bound, using results of Rost and Chacon, and show how this proof can be used to determine a super-hedging strategy which is model-independent. In addition, we outline how the hedging strategy may be computed numerically. Using these methods, we also show that the Heston-Nandi model is 'asymptotically extreme' in the sense that, for large maturities, the Heston-Nandi model gives prices for variance call options which are approximately the lowest values consistent with the same call price data.

연구 동기 및 목표

• 스토케라스틱 프로세스와 임베딩 기법을 이용하여 분산 콜 옵션에 대한 최적의 모델에 종속되지 않는 상한을 유도하기.
• 로스트와 콘카의 스토케로호드 임베딩 문제에 대한 해를 기반으로 한 엄밀한 수학적 구성에 의해 이러한 상한의 최적성을 확립하기.
• 관측된 주가 옵션 가격과 일치하는 연속적인 가격 프로세스를 가정할 때, 분산 옵션에 대한 모델에 종속되지 않은 초과 헤지 전략을 개발하여 분포 불확실성에 강건하게 만들기.
• 유도된 상한을 기반으로 헤지 전략이 어떻게 구현될 수 있는지 수치적으로 보여주기.
• 같은 콜 옵션 가격 데이터를 바탕으로 장기 만기일 경우 헤스톤-난디 모델이 유도된 강건한 상한에 대해 점점 극한에 가까워지는 점진적 행동을 조사하기.

제안 방법

• 스코로코호드 임베딩 문제의 로스트 및 콘카의 해를 활용하여 주어진 마진 분포를 만족하고 분산 옵션 가격의 상한을 달성하는 디퓨전 프로세스를 구성한다.
• 지역 시간과 스케일 함수 이론을 적용하여 구성된 디퓨전의 경계 행동을 특성화함으로써, 프로세스가 만기 시에 목표 분포에 도달하도록 보장한다.
• 최적의 임베딩 기반으로 초과 헤지 전략을 유도하며, 이는 기초 자산에 대한 특정 모델을 가정하지 않고도 분산 옵션의 수익을 복제한다.
• 최적의 정지 경계를 이산화하고 관련된 디퓨전 경로를 시뮬레이션하여 헤지 전략을 수치적으로 계산하는 수치적 기법을 활용한다.
• 스코로코호드 임베딩과 분산 옵션 가격 간의 이중성 이론을 활용하여, 비추정의 조건과 연속성 가정 하에 날카로운 경계를 확립한다.
• 상한이 더 이상 개선될 수 없음을 보여줌으로써 상한의 최적성을 검증한다. 이는 주어진 콜 옵션 가격을 위반하거나 가격 프로세스의 연속성을 위반하지 않는 한 불가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적인 가격 프로세스를 가정할 때, 공통의 종료일 콜 옵션 가격만 알려져 있을 경우, 분산 콜 옵션 가격에 대한 가장 날카로운 상한은 무엇인가?
• RQ2 최적의 정지와 디퓨전 임베딩을 활용하여, 모델에 종속되지 않은 분산 옵션의 초과 헤지 전략을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 장기 만기일 경우, 동일한 콜 옵션 가격 데이터를 바탕으로 헤스톤-난디 모델이 가능한 한 낮은 분산 옵션 가격을 점점 근접하는가를 입증할 수 있는가?
• RQ4 로스트와 콘카의 스토케로호드 임베딩 문제에 대한 해가 분산 파생상품에 대한 최적의 경계를 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이론적 구성이 존재하더라도 실무에서 최적의 헤지 전략을 어떻게 수치적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 분산 콜 옵션의 상한은 최적이며, 스토케로호드 임베딩 문제의 로스트 및 콘카의 해를 이용하여 구성된 디퓨전 프로세스를 통해 달성될 수 있다.
• 유도된 초과 헤지 전략은 모델에 종속되지 않으며, 관측된 콜 옵션 가격과 일치하는 모든 연속적인 가격 프로세스에서 분산 옵션 수익을 복제한다.
• 헤스톤-난디 모델은 장기 만기일 경우 가능한 한 낮은 분산 옵션 가격을 점점 근접하게 되며, 동일한 콜 데이터를 가진 모든 모델 중에서 '점점 극한에 가까워진다'고 할 수 있다.
• 최적의 상한은 날카로우며, 비추정 조건이나 기초 가격 프로세스의 연속성을 위반하지 않는 한 향상될 수 없다.
• 최적의 정지 경계를 이산화하고 관련된 디퓨전 경로를 시뮬레이션함으로써 헤지 전략의 수치 계산이 실현 가능하다.