[論文レビュー] Optimal Sparse Output Feedback Control Design: a Rank Constrained Optimization Approach

Reza Arastoo, Nader Motee+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 44被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、線形時不変系に対する最適なスパース出力フィードバック制御則の設計のため、ランク制約付き最適化フレームワークを提案する。非凸的なスパース性促進問題をランク最小化問題に変換することで、ADMMおよび$ε$-部分勾配法を活用し、グローバル収束を達成する部分最適解を得る。制御入力／出力のノルム制約を組み込み、安定性と性能バウンディングを保証する構造的制御則の合成を可能にする。

ABSTRACT

We consider the problem of optimal sparse output feedback controller synthesis for continuous linear time invariant systems when the feedback gain is static and subject to specified structural constraints. Introducing an additional term penalizing the number of non-zero entries of the feedback gain into the optimization cost function, we show that this inherently non-convex problem can be equivalently cast as a rank constrained optimization, hence, it is an NP-hard problem. We further exploit our rank constrained approach to define a structured output feedback control feasibility test with global convergence property, then, obtain upper/lower bounds for the optimal cost of the sparse output feedback control problem. Moreover, we show that our problem reformulation allows us to incorporate additional implementation constraints, such as norm bounds on the control inputs or system output, by assimilating them into the rank constraint. We propose to utilize a version of the Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) as an efficient method to sub-optimally solve the equivalent rank constrained problem. As a special case, we study the problem of designing the sparsest stabilizing output feedback controller, and show that it is, in fact, a structured matrix recovery problem where the matrix of interest is simultaneously sparse and low rank. Furthermore, we show that this matrix recovery problem can be equivalently cast in the form of a canonical and well-studied rank minimization problem. We finally illustrate performance of our proposed methodology using numerical examples.

研究の動機と目的

• 構造的および性能的制約下での最適スパース出力フィードバック制御則合成というNP困難問題に取り組む。
• 本質的に非凸的なスパース制御則設計問題をランク制約付き最適化問題に再定式化し、グローバル収束性と性能バウンディングを実現する。
• 制御入力およびシステム出力のノルムバウンディングといった実装上の制約を制御則設計フレームワークに組み込む。
• ADMMを用いてランク制約付き問題の部分最適解を計算的に効率的に得る手法を開発する。
• 最もスパースな安定化制御則設計が、構造的低ランクかつスパース行列回復問題に等価であることを示す。

提案手法

• 非凸的な$ε$-ノルムをランク制約に置き換えることで、スパース出力フィードバック制御問題をランク制約付き最適化問題に再定式化する。
• 交替方向増分乗数法（ADMM）を用いて、緩和されたランク制約付き問題を繰り返し解き、解をランク-$n$行列に射影する。
• スパース性促進のため、$ε_0$-ノルムの近似として再重み付け$ε$-ノルム最小化戦略を導入する。
• 制御入力およびシステム出力のノルム制約を、ランク制約フレームワークに統合することで組み込む。
• ランク制約に基づく可解性テストを用いて、スパース制御問題の最適コストの上界および下界を導出する。
• 最もスパースな安定化制御則の探索問題をアフィンランク最小化問題に還元し、行列回復分野の代表的問題として定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース出力フィードバック制御則設計問題は、グローバル収束性と性能バウンディングを実現するため、等価的にランク制約付き最適化問題に再定式化可能か？
• RQ2 制御入力およびシステム出力のノルム制約は、スパース制御則設計フレームワークに自然に組み込めるか？
• RQ3 最もスパースな安定化制御則と、構造的低ランク／スパース行列回復問題の関係は何か？
• RQ4 ADMMに基づく解法は、安定性とスパース性を維持しつつ、どの程度部分最適性能を達成できるか？
• RQ5 制御入力のノルムバウンディングを課すと、スパース性および制御則の性能にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 提案手法は、ランク制約付き最適化により、ADMMを用いて部分最適解を達成し、グローバル収束の保証を得る。
• 16×16の空間的減衰系において、入力ノルムバウンディングなしのスパース制御則は55個の非ゼロ要素を有し、LQR制御則と比較して9.3%の性能損失を示した。
• 制御入力ノルムを200に制限した場合、制御則は著しくスパース性を失い（105非ゼロ要素）、性能損失は6%増加（737.16 vs. 639.19）した。
• ADMMのペナルティパラメータ$\rho$は、$\lambda$よりも少なくとも1桁以上大きく設定される必要があり、部分最適最小値への収束を保証する。
• 最もスパースな安定化制御則問題は、同時にスパースかつ低ランクである構造的行列回復問題に等価であり、標準的なランク最小化問題として定式化可能である。
• 本手法は、スパース制御問題の最適コストの上界および下界を提供し、性能評価およびベンチマーク手法の構築を可能にする。