[論文レビュー] Optimal Transport for Seismic Full Waveform Inversion

Björn Engquist, Brittany D. Froese+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 14被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、最適輸送理論に基づく Wasserstein 距離を、従来の L2 範数に代わる誤差関数として地震波形全波形逆問題（FWI）に用いる手法を提案する。Wasserstein 距離の計算に Monge-Ampère 方程式を活用し、その Fréchet 勾配を導出することで、より優れた凸性とノイズ耐性を実現し、1次元、2次元、6パラメータ、12パラメータの速度モデルにおいて、1%未満のパラメータ誤差と低誤差値を達成する数値実験で安定収束を示した。

ABSTRACT

Full waveform inversion is a successful procedure for determining properties of the earth from surface measurements in seismology. This inverse problem is solved by a PDE constrained optimization where unknown coefficients in a computed wavefield are adjusted to minimize the mismatch with the measured data. We propose using the Wasserstein metric, which is related to optimal transport, for measuring this mismatch. Several advantageous properties are proved with regards to convexity of the objective function and robustness with respect to noise. The Wasserstein metric is computed by solving a Monge-Ampere equation. We describe an algorithm for computing its Frechet gradient for use in the optimization. Numerical examples are given.

研究の動機と目的

• 従来の L2 範数に基づく誤差関数の非凸性とノイズ感受性を解消すること。
• Wasserstein 距離が L2 に比べて凸性とノイズ耐性に理論的・数値的優位性を示すことを確立すること。
• 勾配ベース最適化に用いるため、Wasserstein 距離のモデルパラメータに関する Fréchet 勾配を導出すること。
• 数値実験を通じて、ノイズを含む地震データから真の速度モデルを効果的に回復できるかを示すこと。

提案手法

• 誤差関数として Wasserstein 距離 W₂² を用い、波動場の正負の部分を単位質量に正規化した上で、最適輸送によって計算する。
• 最適輸送マップは、u が凸であると仮定して、Monge-Ampère 方程式：det(D²u) = f(x)/g(∇u(x)) + ⟨u⟩ を解くことで得る。
• Wasserstein 距離は W₂²(f,g) = ∫|x − ∇u(x)|²f(x)dx として評価され、数値計算が効率的に行える。
• アドジョイント法と Monge-Ampère 方程式の解を用いて、誤差関数の速度モデルに関する Fréchet 勾配を解析的に導出する。
• 前方問題は2次元の全弾性波動方程式を用い、初期源には Ricker 波パケットを用いる。
• 複数の合成モデルにおいて、Wasserstein 基準の目的関数を最小化する勾配ベース最適化アルゴリズムを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wasserstein 距離は、時間シフトの下でも L2 よりもより凸的な目的関数を生成するか？
• RQ2 ノイズが存在する状況において、Wasserstein 距離は L2 範数に比べてどのように性能を発揮するか？
• RQ3 Wasserstein 距離の Fréchet 勾配は、効率的に計算可能であり、全波形逆問題に適しているか？
• RQ4 多層構造および区分的定数速度構造において、真の速度モデルはどの程度回復可能か？
• RQ5 高次元パrameter空間における収束特性と精度はいかがなものか？

主な発見

• 1層モデルでは、Wasserstein 距離は時間シフトに対して一貫した凸性を示したのに対し、L2 範数は複数の局所的最小値を示した。
• 2層モデルでは、33反復後に二乗誤差が 2.06×10⁻⁵ に低下し、速度と深さの誤差は約1%に抑えられた。
• 6パラメータ速度モデルでは、72反復後に二乗誤差が 3.94×10⁻⁶ に低下し、回復されたすべての速度が真値から1%以内に収束した。
• 12パラメータモデルでは、回復速度の最大誤差が 0.0091 であり、二乗誤差は 2.10×10⁻⁶ に留まり、高次元性にもかかわらず高い精度を示した。
• 収束履歴は誤差の安定的かつ単調な減少を示し、勾配ベース最適化に適した耐性と安定性を示した。
• ノイズを含むターゲットに対する Wasserstein 距離の誤差は 3.16×10⁻⁶ であり、回復誤差と近い値であったため、パラメータ誤差の主な要因はアルゴリズムの制限ではなく、データのノイズによるものであると示唆された。