[論文レビュー] Optimal transport over a linear dynamical system

Yongxin Chen, Tryphon T. Georgiou+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 37被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、決定的ダイナミクスを伴う線形力学系における最適輸送（OMT-wpd）が、一意の解を有する古典的最適質量輸送問題と同等であることを確立する。また、ノイズ強度がゼロに近づく極限において、確率的線形系におけるシュレーディンガー・ブリッジ問題の解が、決定的OMT-wpd解に弱収束することを証明し、両フレームワークをゼロ拡散の極限で統合する。

ABSTRACT

We consider the problem of steering an initial probability density for the state vector of a linear system to a final one, in finite time, using minimum energy control. In the case where the dynamics correspond to an integrator ($\dot x(t) = u(t)$) this amounts to a Monge-Kantorovich Optimal Mass Transport (OMT) problem. In general, we show that the problem can again be reduced to solving an OMT problem and that it has a unique solution. In parallel, we study the optimal steering of the state-density of a linear stochastic system with white noise disturbance; this is known to correspond to a Schrödinger bridge. As the white noise intensity tends to zero, the flow of densities converges to that of the deterministic dynamics and can serve as a way to compute the solution of its deterministic counterpart. The solution can be expressed in closed-form for Gaussian initial and final state densities in both cases.

研究の動機と目的

• 非自明な線形ダイナミクスを伴うシステムへの最適質量輸送（OMT）の一般化を図り、事前ダイナミクスを有する最適輸送（OMT-wpd）問題を導入すること。
• 任意の可制御線形系および任意の初期・最終分布に対して、OMT-wpdが一意の解を有することを示すこと。
• ノイズ強度がゼロに近づく極限における漸近的プロセスを通じて、確率的ダイナミクス（ノイズ付き）におけるシュレーディンガー・ブリッジ問題と決定的ダイナミクス（OMT-wpd）との間の関係を確立すること。
• 初期および最終分布がガウス分布である場合のOMT-wpdおよびシュレーディンガー・ブリッジ問題における閉形式解を導出すること。
• ノイズパラメータ ε → 0 の極限において、確率的システムのエントロピー補間が、決定的システムの変位補間へ弱収束することを示すこと。

提案手法

• 線形ダイナミクスから導かれる状態遷移行列 Φ(t,s) および行列 M(t,s) を用いた座標変換により、OMT-wpd問題を標準的な最適質量輸送問題に還元する。
• イ伊ト型ダイナミクス dx = Ax dt + Bu dt + √ε B dw（w はウィーナー過程）を有する確率的線形系にシュレーディンガー・ブリッジフレームワークを適用する。
• 最小エネルギー制御と最小相対エントロピーの双対性を用いて、シュレーディンガー・ブリッジ解が事前拡散過程に対する相対エントロピーを最小化することを示す。
• 変換されたシステムの連関渡し密度 q^{B,ε} を導出し、変換されたシステムにおけるシュレーディンガー・ブリッジ問題の解が元の問題の解に対応することを示す。
• 測度変換および座標変換 C を適用して、元のシステムを標準形に写像し、既知のシュレーディンガー・ブリッジに関する結果の適用を可能にする。
• ε → 0 の極限において、エントロピー補間 P^ε_t が変位補間 μ_t に弱収束することを、条件付きブリッジ Q^ε_xy が決定的経路 γ^xy に弱収束することを用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的ダイナミクスを伴う線形力学系における最適輸送問題（OMT-wpd）は、任意の可制御系および任意の初期・最終分布に対して一意の解を有するか？
• RQ2 ノイズ強度 ε がゼロに近づく際、線形確率的系におけるシュレーディンガー・ブリッジ問題の解は、OMT-wpd問題の解に収束するか？
• RQ3 初期および最終分布がガウス分布である場合、OMT-wpdおよびシュレーディンガー・ブリッジ問題の解はどのように関係しているか？
• RQ4 状態遷移行列 Φ(t,s) および行列 M(t,s) は、OMT-wpd問題を標準的最適輸送問題に変換する際に果たす役割は何か？
• RQ5 ノイズがゼロに近づく極限において、確率的システムのエントロピー補間は、決定的システムの変位補間へ弱収束するか？

主な発見

• 可制御な (A,B) を有する線形系における OMT-wpd 問題は、適切な座標変換の後、標準的最適質量輸送問題に還元可能であり、一意の解を有する。
• 同じ線形系におけるシュレーディンガー・ブリッジ問題の解は、ノイズ強度 ε → 0 の極限で OMT-wpd 問題の解に弱収束する。
• 初期および最終分布がガウス分布である場合、OMT-wpdおよびシュレーディンガー・ブリッジ問題の両方とも、行列 Φ(t,s)、M(t,s) および初期・最終分布の共分散行列を含む閉形式解を有する。
• エントロピー補間 P^{B,ε}_{01} の同時分布は、標準的シュレーディンガー・ブリッジ P^ε_{01} の同時分布を座標変換 C でプッシュフォワードしたものである。
• 確率的システムの条件付き経路分布 Q^ε_xy は、ε → 0 の極限で決定的最小エネルギー経路 γ^xy に弱収束し、時間周辺分布の収束を保証する。
• 変位補間 μ_t は、最適輸送計画 π を経路写像でプッシュフォワードすることで定義され、ε → 0 の極限において、エントロピー補間の時間周辺分布 P^ε_t の弱極限として得られる。