[論文レビュー] Optimal Transportation in the presence of a prescribed pressure field

Gershon Wolansky|ArXiv.org|Jun 27, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、所定の圧力場のもとで、測度を保存する写像の最適な流れの存在および一意性を確立し、Monge-Kantorovich枠組みを二次的運動エネルギーとポテンシャル（圧力）項を含む力学的ラグランジアンへ拡張する。主な貢献は、非一様なコスト関数（圧力場による）を有する場合でも、拡張されたラグランジュ問題に対する一意的な解の存在を証明し、それが双対的エーランジェアン形式と同等であることを示したことである。

ABSTRACT

The optimal (Monge-Kantorovich) transportation problem is discussed from several points of view. The Lagrangian formulation extends the action of the {\em Lagrangian} $L(v,x,t)$ from the set of orbits in $\R^n$ to a set of measure-valued orbits. The {\em Eulerian}, dual formulation leads an optimization problem on the set of sub-solutions of the corresponding Hamilton-Jacobi equation. Finally, the Monge problem and its Kantorovich relaxation are obtained by reducing the optimization problem to the set of measure preserving mappings and two point distribution measures subjected to an appropriately defined cost function. In this paper we concentrate on mechanical Lagrangians $L=|v|^2/2+P(x,t)$ leading, in general, to a non-homogeneous cost function. The main results yield existence of a unique {\em flow} of homomorphisms which transport the optimal measure valued orbit of the extended Lagrangian, as well as the existence of an optimal solution to the dual Euler problem and its relation to the Monge- and Kantorovich formulations.

研究の動機と目的

• 古典的なMonge-Kantorovich最適輸送問題を、半古典的シュレーディンガー方程式をモデル化するような所定の圧力場を含める形に拡張すること。
• 古典的軌道を時間における確率測度に一般化する、緩和された測度値設定における最適輸送問題の定式化。
• 拡張されたラグランジュ作用の下で、測度値軌道を輸送する一意的な最適な同型写像の流れの存在を確立すること。
• 拡張されたラグランジュ形式と双対的エーランジェアン問題との間の双対性を確立し、非一様コスト関数下でのMonge-Kantorovich緩和形式と同等性を示すこと。

提案手法

• 時間にわたる確率測度としての古典的軌道の一般化を行う測度値軌道における拡張ラグランジュ作用を用いて最適輸送問題を定式化する。
• 形の機械的ラグランジュアン $ L = \frac{1}{2}|v|^2 + P(x,t) $ を用い、ここで $ P(x,t) $ は所定の圧力場であり、非一様コスト関数を導く。
• ハミルトニアン・ジャコビ方程式のポテンシャル項を含む部分解の最適化問題として双対的エーランジェアン形式を導出する。
• コンパクト性および双対性の議論を用いて、緩和されたKantorovich形式における最小化子の存在を証明する。
• 径対称な密度および速度場を用いてテストフローを構築し、弱い連続性および作用の上限を検証する。
• ホルダーおよびソボレフ型の推定を用いて、近似スキームにおける密度および速度場の $ L^p $-ノルムを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 所定の圧力場によりコスト関数が非一様となる場合、最適輸送フローは存在するか？
• RQ2 Monge-Kantorovich緩和形式は、ポテンシャル項を含む力学的ラグランジュアンに拡張可能であり、一意解をもたらすか？
• RQ3 拡張されたラグランジュ形式と、ポテンシャル項を含むハミルトニアン・ジャコビ方程式の部分解を含む双対的エーランジェアン問題との間に双対性は存在するか？
• RQ4 圧力場の存在が、緩和された設定における最適輸送写像の存在および正則性にどのように影響するか？
• RQ5 非自明な圧力場が存在する状況下で、最適解は凸関数の勾配として特徴付けられるか？

主な発見

• 非一様コスト関数（圧力場による）が存在する場合でさえ、拡張ラグランジュアンの測度値軌道を輸送する一意的な最適な同型写像の流れが存在する。
• 双対的エーランジェアン問題には最小化子が存在し、それがMonge-Kantorovich緩和形式の最適解と同等であることが示された。
• 双対問題の最適解は、ポテンシャル項 $ P(x,t) $ を含むハミルトニアン・ジャコビ方程式の部分解として特徴付けられ、双対ギャップは消える。
• $ p < 1 + \frac{1}{n} $ の場合、$ L^p $-有界な密度および速度場を用いた近似スキームにより、作用および質量輸送が制御されたテストフローの収束列が得られる。
• 近似におけるスケーリングパラメータの最適選択により、誤差の鋭い上限が得られ、収束速度は圧力場の勾配の $ L^s $-ノルムに依存する。
• 初期および最終密度が与えられた半古典的ハミルトニアン・ジャコビ方程式の二点境界値問題に対する解の存在は、拡張ラグランジュアンフレームワークを用いて確立された。