[論文レビュー] Optimality for totally real immersions and independent mappings of manifolds into C^N

Pak Tung Ho, Howard Jacobowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体の完全実埋め込みおよび独立写像が複素アフィン空間 𝐂^𝑁 に埋め込まれる際の標的次元の最適性を確立する。可定向多様体、特に ℂℙ² の積を用いたチャーン類の障害と横断的議論により、完全実埋め込みのための境界 𝑁 ≥ ⌊3𝑛/2⌋ および独立写像のための境界 𝑁 ≤ ⌊(𝑛+1)/2⌋ が最良であることを証明し、これらの次元を向上させることができないことを示す新しい例を提示する。

ABSTRACT

The optimal target dimensions are determined for totally real immersions and for independent mappings into complex affine spaces. Our arguments are similar to those given by Forster, but we use orientable manifolds as far as possible and so are able to obtain improved results for orientable manifolds of even dimension. This leads to new examples showing that the known immersion and submersion dimensions for holomorphic mappings from Stein manifolds to affine spaces are best possible.

研究の動機と目的

• 完全実埋め込みおよび独立写像に対する標的次元の境界 𝑁 ≥ ⌊3𝑛/2⌋ および 𝑁 ≤ ⌊(𝑛+1)/2⌋ が最適であることを証明すること。
• これらの境界より低い次元でこのような写像を許容しない閉多様体の明示的例を構成すること。
• 上部ポントリャーギン類が消える 4𝑘+2 および 4𝑘 次元の可定向多様体に対して、既知の結果を改善すること。
• 横断的議論から得られる境界が、チャーン類による障害を示すことによって鋭いことを示すこと。
• 滑らかな結果とストーン多様体の正則埋め込みおよび正則な準同型写像を比較し、正則設定でも境界が最適であることを確認すること。

提案手法

• 完全実埋め込みの存在性をコhomologicalな条件に翻訳するため、チャーン類理論を用いる：ある複素ベランドル Q（ランク 𝑁−dim M）に対して c(ℂ⊗TM)⌣c(Q) = 1 が成り立つこと。
• ホイットニー和公式およびチャーン類の性質を用いて、ℂ⊗TM ⊕ Q の自明性の障害を導出する。
• 具体的な例を構成する：𝑀^{4k} = (ℂℙ²)^×k および、𝑆¹ や ℝℙ² を用いたそれらの積により、4 を法としてすべての次元をカバーする。
• ジェットバンドル技術と横断的議論を用いて、𝐽¹(𝑀, 𝐂^𝑁) における特異集合の余次元を分析し、一般性を保つために境界が必要であることを示す。
• ランク不全の集合の余次元が多様体の次元を上回る場合にのみ、独立関数が存在することを用いる。
• 断面空間における横断的性と次元数え上げにより、バンドルのファイバーを張る全関数の存在に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全実埋め込みに対する標的次元 𝑁 = ⌊3𝑛/2⌋ は、特定の多様体に対して小さくできるか？
• RQ2 独立写像の境界 𝑁 ≤ ⌊(𝑛+1)/2⌋ は鋭いか、それより改善可能か？
• RQ3 上部ポントリャーギン類が消える 4𝑘+2 または 4𝑘 次元の可定向多様体は、一般の場合より良い境界を有するか？
• RQ4 ストーン多様体における滑らかな埋め込みおよび写像の次元境界は、正則設定でも同様に最適か？
• RQ5 境界が最適であることを示す明示的反例を構成できるか？

主な発見

• 各 𝑘 ≥ 1 に対して、多様体 𝑀^{4k} = (ℂℙ²)^×k は 𝑁 = 6𝑘−1 のとき 𝐂^𝑁 に完全実埋め込みを許容しない。これは、偶数次元における 𝑁 ≥ 3𝑛/2 の境界の最適性を証明する。
• 多様体 𝑀^{4k+1} = 𝑀^{4k} × 𝑆¹ は 𝑁 = 6𝑘 のとき 𝐂^𝑁 に完全実埋め込みを許容しない。これは 4𝑘+1 次元における境界の鋭さを示す。
• 多様体 𝑀^{4k+2} = 𝑀^{4k} × ℝℙ² は 𝑁 = 6𝑘+2 のとき 𝐂^𝑁 に完全実埋め込みを許容しない。これは 4𝑘+2 次元における境界の最適性を確認する。
• 多様体 𝑀^{4k+3} = 𝑀^{4k} × ℝℙ² × 𝑆¹ は 𝑁 = 6𝑘+3 のとき 𝐂^𝑁 に完全実埋め込みを許容しない。これは 4𝑘+3 次元における境界の最適性を証明する。
• 4𝑘+2 次元の可定向多様体に対して、一般の場合よりもわずかに強い最適性結果を得た。
• 上部ポントリャーギン類が消える 4𝑘 次元の可定向多様体に対して、一般の境界がタイトでないことを示す改善された最適性境界を証明した。