[論文レビュー] Optimization of a perturbed sweeping process by constrained discontinuous controls

Giovanni Colombo, Boris S. Mordukhovich+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、凸多面体状態制約および可測不連続制御を伴う摂動スイーピング過程に従う最適制御問題の必要最適性条件を導出するための新規な離散近似法を開発する。変分解析および一般化微分法を組み合わせることで、離散近似の強い収束を確立し、包括的な一次および二次最適性条件を導出する。これは、より緩い仮定のもとで先行研究を顕著に拡張するものである。

ABSTRACT

This paper deals with optimal control problems described by a controlled version of Moreau's sweeping process governed by convex polyhedra, where measurable control actions enter additive perturbations. This class of problems, which addresses unbounded discontinuous differential inclusions with intrinsic state constraints, is truly challenging and underinvestigated in control theory while being highly important for various applications. To attack such problems with constrained measurable controls, we develop a refined method of discrete approximations with establishing its well-posedness and strong convergence. This approach, married to advanced tools of first-order and second-order variational analysis and generalized differentiations, allows us to derive adequate collections of necessary optimality conditions for local minimizers, first in discrete-time problems and then in the original continuous-time controlled sweeping process by passing to the limit. The new results include an appropriate maximum condition and significantly extend the previous ones obtained under essentially more restrictive assumptions. We compare them with other versions of the maximum principle for controlled sweeping processes that have been recently established for global minimizers in problems with smooth sweeping sets by using different techniques. The obtained necessary optimality conditions are illustrated by several examples.

研究の動機と目的

• 摂動スイーピング過程に従う最適制御問題を、凸多面体状態制約および可測制御を伴って取り扱う。
• スイーピング過程における法線被覆写像の非リプシッツ的かつ不連続な性質に起因する課題を克服する。
• このような問題に対して、良好に定義され、強い収束を示す離散近似スキームを構築する。
• 高度な変分解析の道具を用いて、局所最小解のための包括的な必要最適性条件を導出する。
• 異なる仮定のもとで既存のグローバル最小解のための最大原理と、新しい結果を比較する。

提案手法

• 制御付きスイーピング過程に適した洗練された離散近似法を構築し、可測制御の制約を満たすようにし、良好な定義と強い収束を保証する。
• 一次および二次の変分解析および一般化微分の道具を用いて、離散問題を分析する。
• 離散時間問題の必要最適性条件を導出し、極限に移行して連続時間スイーピング過程の条件を得る。
• 最大条件および随伴系を用いて、最適制御-軌道対を特徴付ける。
• 随伴弧および制御制約の構造を扱うために、測度の非原子性条件を実装する。
• 制御集合の形を考慮した法線被覆条件の最大化形を用いて、双対ダイナミクスを制御集合の言語で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動スイーピング過程に従う不連続ダイナミクスを伴う最適制御問題に対して、どのように必要最適性条件を導出できるか？
• RQ2 状態制約を伴うスイーピング過程の非リプシッツ的挙動を扱うにあたり、離散近似の役割は何か？
• RQ3 新しい最適性条件は、滑らかな設定下での既存の最大原理と比べてどのように異なるか？
• RQ4 提案手法は、近似プロセス全体を通じて、硬い制御および状態制約をどのように扱っているか？
• RQ5 活性制約が存在する状況で、なぜ新しい条件はペナルティ法に基づく手法よりも優れているのか？

主な発見

• 離散近似スキームは良好に定義されており、元の連続時間問題に強く収束し、極限プロセスの有効性を保証する。
• 本稿では、局所最小解のための包括的な必要最適性条件（最大条件および横断的条件を含む）を導出する。
• 例において、2次元単位正方形制御集合の場合、随伴弧が定数であることが示され、最適性系が簡略化される。
• 最適制御は、時刻Tに多面体集合の境界に到達した際に達成され、両方の制御成分が1/2に等しい。
• 制約に影響を受ける制御において、ペナルティ法に基づくアプローチと比較して、本手法は活性制約をより効果的に扱っていることが、[3]との比較で示された。
• 最適軌道は $\bar{x}(t) = (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}t, -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}t)$ で与えられ、最小コストは0に達する。