[論文レビュー] Optimizing Geometric Multigrid Methods with Evolutionary Computation

Jonas Schmitt, Sebastian Kuckuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Evolutionary Algorithms and Applications参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、記号的 multigrid 表現を生成する分野特化型文法を用いて、自動的に幾何的 multigrid スolver を最適化する進化的計算手法を提示する。収束性と性能は、自動化された局所フーリエ解析とルーフラインモデリングによりモデル化される。本手法は、2次元および3次元定常熱方程式（定数係数および変数係数）に対して、標準的なサイクルを上回るV-およびW-サイクルに類似したスカラーを生成する。

ABSTRACT

For many linear and nonlinear systems that arise from the discretization of partial differential equations the construction of an efficient multigrid solver is a challenging task. Here we present a novel approach for the optimization of geometric multigrid methods that is based on evolutionary computation, a generic program optimization technique inspired by the principle of natural evolution. A multigrid solver is represented as a tree of mathematical expressions which we generate based on a tailored grammar. The quality of each solver is evaluated in terms of convergence and compute performance using automated local Fourier analysis (LFA) and roofline performance modeling, respectively. Based on these objectives a multi-objective optimization is performed using strongly typed genetic programming with a non-dominated sorting based selection. To evaluate the model-based prediction and to target concrete applications, scalable implementations of an evolved solver can be automatically generated with the ExaStencils framework. We demonstrate our approach by constructing multigrid solvers for the steady-state heat equation with constant and variable coefficients that consistently perform better than common V- and W-cycles.

研究の動機と目的

• 偏微分方程式向けに、高性能な幾何的 multigrid スolver の自動設計を実現すること。
• multigrid スolver 構築における手作業的で専門的知識に依存する複雑さを克服し、スケジューリング構造を形式的文法にエンコードすること。
• 多目的進化的アルゴリズムを用いて、収束速度と計算性能の両方を最適化すること。
• ExaStencils フレームワークを用いて、進化的に得られたスカラーからスケーラブルでプロダクション用のコードを生成すること。
• 変数係数および定数係数を有する定常状態熱方程式に対して、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 有効な multigrid スカラー表現を生成するための文脈自由文法を定義し、緩和法、制限、補間、粗グリッド補正をエンコードする。
• 各スカラーは、グリッドサイズに依存しない、文法から導出された記号的表現の木として表現される。
• 反復行列のスペクトル半径を推定するため、自動化された局所フーリエ解析（LFA）を用いて収束性を評価する。
• 全演算の実行時間を推定するため、ルーフラインモデリングを用いて計算性能を予測する。
• 収束性と性能の両方をバランスさせるために、非優位ソート選択を用いた強型付き遺伝的プログラミングを用いた多目的最適化を実施する。
• 進化的に得られたスカラーは、ドメイン特化言語（DSL）にコンパイルされ、自動的に ExaStencils コード生成フレームワークを用いて実装される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 進化的計算は、手作業の専門的介入なしに、高性能な幾何的 multigrid スカラーを自動的に生成できるか？
• RQ2 形式的文法は、異なるグリッドレベルにおいて、有効かつ効率的な multigrid スカラー構造を効果的にエンコードできるか？
• RQ3 収束性と性能のモデルベース予測は、multigrid スカラーの有効な多目的最適化を導けるか？
• RQ4 進化的に得られたスカラーは、熱方程式の収束性および実行時間において、標準的なV-およびW-サイクルを上回るか？
• RQ5 進化的に得られたスカラー構造は、最適 multigrid 設計における一般化可能なパターンを明らかにできるか？

主な発見

• 定数係数および変数係数を有する2次元および3次元定常状態熱方程式に対して、進化的に得られたスカラーは、収束性および性能の両面で、標準的なV-およびW-サイクルを一貫して上回る。
• 進化的に得られたスカラーは共通の構造的パターンを示す：V-サイクルトポロジーに、赤黒ガウス＝ザイデルとヤコビのハイブリッドスムージングを組み合わせ、後処理スムージングに不十分および過剰なリラクゼーションを用いたヤコビ反復を適用する。
• 事前スムージングには、通常1ステップの赤黒ガウス＝ザイデルが用いられ、その後に変動する数のヤコビステップが続く。粗いグリッドレベルでは、より多くのスムージングステップが使用される。
• 進化的なアルゴリズムは、反復ごとに逆行列の対角成分オペレータを一度だけ適用し、異なるリラクゼーション係数と分割を繰り返すことで、優れた性能が得られることを発見した。
• 本手法は、ExaStencils を通じてスケーラブルでプロダクション用のコードを成功裏に生成し、実用的導入可能性を確認した。
• 文法にガウス＝ザイデルまたはヤコビ法に明示的な制約を設けなかったため、最適なパターンが自発的に出現した。これは、本手法が、自律的かつ効果的な設定を発見できる能力を有することを示している。