[論文レビュー] Option Pricing Under Ornstein-Uhlenbeck Stochastic Volatility

Giacomo Bormetti, Valentina Cazzola+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2009

Stochastic processes and financial applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、低ボラティリティ状態におけるOrnstein-UhlenbeckおよびStein-Stein過程の線形化されたダイナミクスを活用することで、確率的ボラティリティ下での準閉形式オプションプライシングモデルを提案する。リスク中立的 pricing のための特性関数とモーメントを導出することで、ミラノ証券取引所のデータへの効率的なキャリブレーションが可能となり、市場インプライド・ボラティリティと強い一致を示す。

ABSTRACT

We consider the problem of option pricing under stochastic volatility models, focusing on the two processes known as exponential Ornstein-Uhlenbeck and Stein-Stein. We show they admit the same limit dynamics in the regime of low fluctuations of the volatility process, under which we derive the expressions of the characteristic function and the first four cumulants for the risk neutral probability measure. This allows us to obtain a semi-closed form for European option prices, based on Lewis ’ approach. We deeply analyze the case of Plain Vanilla calls, being liquid instruments for which reliable implied volatility surfaces are available. We implement a conceptually simple two steps calibration procedure which considerably reduces the computational burden and we test it against a data set of options traded on the Milan Stock Exchange. Our results show a good agreement with the market data for all the considered models. In particular, the fitted parameters suggest the risk neutral dynamics is in a low volatility fluctuation regime, which supports the reliability of the linear approximation.

研究の動機と目的

• 確率的ボラティリティモデル下での準閉形式オプションプライシング手法の開発を目的とし、特に指数型Ornstein-UhlenbeckおよびStein-Stein過程に焦点を当てる。
• これらのモデルの低ボラティリティフラクチュエーション下での極限ダイナミクスを分析し、解析的取り扱いの可能性を高める。
• リスク中立的測度下での特性関数および最初の4つのモーメントを導出する。これらはオプションプライシングに応用可能である。
• 実市場データへの実用的応用を念頭に、計算的に効率的な二段階キャリブレーション手順を実装する。
• ミラノ証券取引所における観察されたオプション価格との比較を通じて、モデルの正確性を検証する。

提案手法

• 著者らは、低フラクチュエーション状態におけるボラティリティ過程の線形化を基に、リスク中立的分布の特性関数およびモーメントを導出する。
• Lewisの特性関数アプローチを適用し、ヨーロピアン・オプション価格のための準閉形式表現を獲得する。
• 二段階キャリブレーション手順を実装する：まずモーメントマッチングによりモデルパラメータを推定し、次に市場オプション価格を用いて精緻化する。
• 本手法は、リスク中立的ダイナミクスが低ボラティリティフラクチュエーション状態に存在すると仮定しており、これにより線形近似が正当化される。
• 本モデルは、ミラノ証券取引所で取引されているパラメトリック・ヴァリエーション・コール・オプションのデータセットを用いてテストされる。
• キャリブレーションプロセスは、計算負荷を低減しつつも、正確性と安定性を維持するように設計されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低ボラティリティフラクチュエーション下で、Ornstein-UhlenbeckおよびStein-Stein確率的ボラティリティモデルは、共通の線形化されたダイナミクスに近づくか？
• RQ2 この線形化された状態におけるリスク中立的分布の特性関数およびモーメントは何か？
• RQ3 この近似下で、Lewisのアプローチを用いて、準閉形式のオプションプライシング式を導出できるか？
• RQ4 キャリブレーション済みモデルは、パラメトリック・ヴァリエーション・オプションの観察されたインプライド・ボラティリティ・サーフェスをどれほど正確に再現できるか？
• RQ5 フィッティングされたパラメータセットは、実市場ダイナミクスが近似に用いられた低フラクチュエーション状態と一致していると示唆するか？

主な発見

• 指数型Ornstein-UhlenbeckおよびStein-Steinモデルは、低ボラティリティフラクチュエーション下で同じ極限ダイナミクスに収束し、統一的な解析的取り扱いが可能になる。
• リスク中立的測度下で導出された特性関数および最初の4つのモーメントにより、ヨーロピアン・オプションの準閉形式プライシングが可能になる。
• 二段階キャリブレーション手順により、計算コストが顕著に削減されつつ、市場データへの適合性は高い水準を維持する。
• 本モデルは、特に流動性の高いパラメトリック・ヴァリエーション・コール・オプションにおいて、観察されたオプション価格と強い一致を示す。
• フィッティングされたパラメータは一貫して、リスク中立的ダイナミクスが低ボラティリティフラクチュエーション状態に存在することを示しており、モデルで用いられた線形近似の妥当性が裏付けられる。