[論文レビュー] Option Pricing without Price Dynamics: A Probabilistic Approach

Dimitris Bertsimas, Natasha Bushueva|ArXiv.org|Dec 3, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複数の満期およびストライク価格における観測済みコール・オプション価格のみを用いて、連続的で区分的線形ペイオフを持つヨーロピアン・オプションの価格に対するきつい上限および下限を計算する確率的かつアービッジフリーなアプローチを開発する。問題を線形最適化タスクとして定式化することで、元の資産価格のダイナミクスや定常ボラティリティを仮定せずに、正確かつ漸近的に正確なアルゴリズムが可能になる。

ABSTRACT

Employing probabilistic techniques we compute best possible upper and lower bounds on the price of an option on one or two assets with continuous piecewise linear payoff function based on prices of simple call options of possibly distinct maturities and the no-arbitrage condition, but without any assumption on the price dynamics of underlying assets. We show that the problem reduces to solving linear optimization problems that we explicitly characterize. We report numerical results that illustrate the effectiveness of the algorithms we develop.

研究の動機と目的

• 複数の満期およびストライクにおける観測済みコール・オプション価格が与えられたもとで、連続的で区分的線形ペイオフを持つヨーロピアン・オプションの価格に対する、最もきつい上限および下限を特定すること。
• 異なる満期における観測済みオプション・プライスがアービッジフリーな市場と整合するための必要十分条件を確立すること。
• モーメント制約とオプション・プライス制約の下で、資産価格の同時分布を特徴付けることで、特にバスケット・オプションを含む複数資産オプションへのフレームワークの拡張を行うこと。
• 高次元設定においても効率的な計算が可能な、正確かつ漸近的に正確なアルゴリズムを開発すること。
• 単一資産オプションの既存のバインディングを、複数資産および複数満期の状況に一般化し、最小限の仮定のもとで最適性を保持すること。

提案手法

• 観測済みコール・オプション・プライスと整合する可能なマルティンググール・メジャーの集合を特徴付けることで、オプション・プライシング問題を線形計画問題として定式化する。
• 幾何学的および確率的議論を用いて、ペイオフ超平面によって形成される多面体グラフの頂点にサポートを持つ原子型確率分布の上での最適化に問題を還元する。
• 変数変換とパラメータ化技術を適用して、元の非線形制約を線形形式に変換し、線形最適化による効率的解法を可能にする。
• 2つのアルゴリズムを導入：1つは正確だがサイズが指数関数的に増大する可能性があるもの、もう1つは多項式サイズの定式化を用いる漸近的に正確なもので、実装に適している。
• 2資産オプションに拡張する際、共同価格空間上にグラフ構造を定義し、時間的および領域的整合性を保つマルティンググールを確保する。
• 有限な頂点集合の存在を保証するため、基礎となる資産価格に有界なサポートを課し、基礎分布の離散的近似を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の満期およびストライクにおける観測済みコール・オプション価格が与えられたもとで、連続的で区分的線形ペイオフを持つヨーロピアン・オプションの価格に対する、最もきつい上限および下限は何か？
• RQ2 異なる満期における観測済みオプション・プライスが、アービッジフリーな市場と整合するためにはどのような条件を満たす必要があるか？
• RQ3 基礎資産の価格ダイナミクスを仮定せず、オプション・プライシング問題を線形最適化問題に再定式化することは可能か？
• RQ4 ペイオフ関数が区分的線形である場合、複数資産オプションのバインディングを正確に計算できるか、あるいは効率的に近似できるか？
• RQ5 バスケット・オプションに複数の基礎資産と異なる満期を含む場合、解法はどの程度一般化可能か？

主な発見

• きついオプション・プライス・バインディングを計算する問題は、最適解が多面体グラフの頂点にサポートを持つ離散的確率分布によって達成される線形最適化問題に還元される。
• 複数満期を含む単一資産オプションの場合、アービッジフリーのための必要十分条件は、時間的各点で整合するマルティンググール・メジャーの存在に起因する。
• 正確なアルゴリズムは、指数関数的サイズの可能性がある線形計画問題を含むが、漸近的に正確なアルゴリズムは多項式サイズの定式化を用い、解を任意に高く近似可能である。
• 2資産ケースでは、ペイオフ超平面によって形成されるグラフの頂点に原子型分布を割り当てることで、すべての制約を満たすマルティンググールを構築し、時間的および領域的整合性を保証する。
• D’Aspremont と El Ghaoui (2004) が提示したバスケット・オプションのバインディング問題を一般化し、正確に解き、彼らの緩和手法が近似であったのに対し、正確な解を提供する。
• ペイオフ関数が凸でない場合であっても、状態空間を拡張し、将来および過去の制約を一様に扱うことで、アプローチは有効であるが、2次元ケースでは近似なしでは線形形式を失う。