[論文レビュー] Orbifold compactness for spaces of Riemannian metrics and applications

Michael T. Anderson|ArXiv.org|Dec 4, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、自然な曲率および体積の有界性の下で、リーマン計量の空間に対するオーロリフォルドコンパクトネスを確立し、$L^{n/2}$-ノルムによる制御、非崩壊性、および局所的曲率推定を満たす計量の列が、$C^{1,\beta}$-オーロリフォルド極限に収束することを証明する。主な貢献は、アインシュタイン、バッシュ平坦、ヤマベ計量を含む自然な汎関数の臨界計量のコンパクトネスを統一的に扱うフレームワークを構築し、特異点および曲率に対する一様な有界性を保証することにある。

ABSTRACT

This work proves certain general orbifold compactness results for spaces of Riemannian metrics, generalizing earlier results along these lines for Einstein metrics or metrics with bounded Ricci curvature. This is then applied to prove such compactness for spaces of Bach-flat (for example half-conformally flat) metrics on 4-manifolds, and related results for metrics which are critical points of other natural Riemannian functionals on the space of metrics.

研究の動機と目的

• 曲率の$L^{n/2}$-ノルムによる制御、非崩壊性、および局所的曲率推定を満たす計量の列に対する、一般のオーロリフォルドコンパクトネス定理を確立すること。
• チェファー＝グロモフコンパクトネスを、アインシュタイン計量にとどまらず、バッシュ平坦計量やヤマベ計量を含むより広いクラスの臨界計量へと拡張すること。
• 曲率および体積パラメータにのみ依存する、オーロリフォルド特異点の数、円錐型の数、および局所的単位群の位数に対する一様な有界性を提供すること。
• 非正のスカラー曲率をもつバッシュ平坦ヤマベ計量の崩壊を含む、極限構造としてのクラスター型構造を含む、極限の退化を分析すること。
• ALE空間および自己双対計量に対するチャーン＝ガウス＝ボンネの定理およびインデックス理論的公式を通じて、極限オーロリフォルドに課される位相的および幾何的制約を導出すること。

提案手法

• 体積を正規化した閉じた$n$-多様体の空間$\mathcal{M}(\Lambda, \nu_0, \delta_0, C_0)$を定義し、曲率の$L^{n/2}$-有界性、非崩壊性、および局所的曲率推定（1.5）を満たす。
• 局所的曲率推定（1.5）を用いて、$L^{n/2}$-ノルムと体積に依存する点での曲率を制御し、チェファー＝グロモフ理論におけるグローバル曲率有界性の役割を一般化する。
• Gromov-Hausdorff収束および特異点を除くコンパクト部分集合上で$C^{1,\alpha}$-正則性を用いて、極限オーロリフォルド構造を構成する。
• チャーン＝ガウス＝ボンネの公式およびインデックス定理（例：$\eta$-不変量など）を用いて、曲率積分と$\chi(M)$や$\tau(M)$などの位相的不変量との関係を関係づける。
• 小さな曲率推定（1.5）を用いて、$\int |R|^2$、$\int |Ric|^2$、$\int |z|^2$などの汎関数の臨界計量が、必要な曲率制御を満たすことを示す。
• ALE空間モデルを用いて漸近的極限を分析し、スカラー平坦、自己双対、または半自己双対的平坦なALE端部に対して積分的恒等式（例：（3.26）–（3.28））を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点でのリッチ曲率の有界性を仮定せずに、$L^{n/2}$-曲率有界性および非崩壊性の下で、リーマン計量の列に対するオーロリフォルドコンパクトネスを確立できるか？
• RQ2 バッシュ平坦または臨界計量の列の極限オーロリフォルドに課される位相的および幾何的制約は何か？
• RQ3 曲率汎関数$\int |R|^2$ や $\int |Ric|^2$ は、モジュライ空間およびそのコンパクト化の構造とどのように関係するか？
• RQ4 小さな曲率推定（1.5）は、局所的曲率を制御し、特異点を除く部分で$C^{1,\alpha}$収束を可能にする役割を果たすか？
• RQ5 本コンパクトネス結果は、特に非正のスカラー曲率をもつバッシュ平坦ヤマベ計量に対して、クラスター型の端部を伴う崩壊を含む形で拡張可能か？

主な発見

• 空間$\mathcal{M}(\Lambda, \nu_0, \delta_0, C_0)$に属する任意の計量列は、Gromov-Hausdorff位相および正則部分集合上で$C^{1,\alpha}$に収束し、有限個の特異点を持つ$C^{1,\alpha}$-オーロリフォルド計量に収束する。
• オーロリフォルド特異点の数、1つの特異点ごとの円錐の数、および局所的単位群の位数は、すべて$\Lambda$、$\nu_0$、$\delta_0$、$C_0$にのみ依存する一様な有界性を持つ。
• 非正のスカラー曲率をもつバッシュ平坦ヤマベ計量に対しては、同じ曲率および体積の有界性のもとでオーロリフォルドコンパクトネスが成り立ち、$L^2$-ノルムの曲率は位相的不変量によって有界化される。
• 次元4において、$\mathbb{R}^4$上に定義された有限な$L^2$-ノルムの曲率と正の体積成長をもつ自己双対的かつスカラー平坦なALE計量は、チャーン＝ガウス＝ボンネの公式により必ず平坦である。
• 自己双対計量の$L^2$-ノルムは、$-7\chi(M) + 12\tau(M) + 7\sum \frac{1}{|\Gamma_k|} + 12\sum \eta(S^3/\Gamma_k)$によって上から有界化され、位相的上界を与える。
• 汎関数$\int |R|^2$、$\int |Ric|^2$、$\int |z|^2$の臨界計量は、小さな曲率推定（1.5）を満たし、非崩壊性および正規化のもとで、主コンパクトネス定理の適用が可能になる。