[論文レビュー] Orbifolds of Reshetikhin-Turaev TQFTs

Nils Carqueville, Ingo Runkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、モジュラーテンソルカテゴリとデフォルトTQFT形式を用いて、Reshetikhin–Turaevのトポロジカル量子場理論（TQFT）の一般化されたオルビフォールドの3つのクラスを構成する。Turaev–Viroの状態和モデルが球面的ファイバー分類から得られる、自明なReshetikhin–Turaev理論のオルビフォールドと同値であることを確立し、G-クローズド拡張および可換Frobenius代数へと枠組みを拡張し、Morita不変性を証明するとともに、Tambara–Yamagamiカテゴリおよびレベルkにおける量子群カテゴリの明示的構成を提供する。

ABSTRACT

We construct three classes of generalised orbifolds of Reshetikhin-Turaev theory for a modular tensor category $\mathcal{C}$, using the language of defect TQFT from [arXiv:1705.06085]: (i) spherical fusion categories give orbifolds for the "trivial" defect TQFT associated to vect, (ii) $G$-crossed extensions of $\mathcal{C}$ give group orbifolds for any finite group $G$, and (iii) we construct orbifolds from commutative $Δ$-separable symmetric Frobenius algebras in $\mathcal{C}$. We also explain how the Turaev-Viro state sum construction fits into our framework by proving that it is isomorphic to the orbifold of case (i). Moreover, we treat the cases (ii) and (iii) in the more general setting of ribbon tensor categories. For case (ii) we show how Morita equivalence leads to isomorphic orbifolds, and we discuss Tambara-Yamagami categories as particular examples.

研究の動機と目的

• モジュラーテンソルカテゴリ内の内部データを用いて、3次元のデフォルトTQFTのオルビフォールド構成をReshetikhin–Turaev理論へ一般化すること。
• 状態和モデル（Turaev–Viro）と群のオルビフォールドを、同一のオルビフォールド枠組みで統一すること。
• モジュラーテンソルカテゴリを超えてリボンファイバー分類へオルビフォールド構成を拡張し、Morita同値不変性を検討すること。
• 可換∆-分離対称Frobenius代数から得られるオルビフォールドデータの明示的構成およびそれらが導くTQFTを提供すること。
• Moritaクラスおよび局所モジュールカテゴリを通じて、アフィンリー代数のレベルkにおける既知のTQFT（例：bsl(2)k）とオルビフォールド構成を関連させること。

提案手法

• デフォルトTQFT枠組みにおいて、三角化されたバーディズム内のラベル付きストラタ（デフォルト）からなるオルビフォールドデータAを用いてオルビフォールドを構成する。
• 主要な技術的結果（命題3.3）を用いて、オルビフォールド条件をモジュラーテンソルカテゴリC内に内部的に再定式化する。
• 球面的ファイバー分類SにTuraev–Viro状態和構成を適用し、それがASを介して自明な理論Ztrivのオルビフォールドとして生じることを示す。
• CのG-クローズド拡張から群のオルビフォールドを構成し、Morita同値な拡張が同型なオルビフォールドTQFTをもたらすことを証明する。
• Tambara–Yamagamiカテゴリの構造を用いて、Z2-次数カテゴリにおけるオルビフォールドデータを実現し、二次形式および群の位数の平方根から得られる明示的代数を導出する。
• 完全忠実なリボン関手を用いて、例えばvectZ2,χのような部分カテゴリから、Ckのようなより大きなモジュラーテンソルカテゴリへのオルビフォールドデータの持ち上げを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラーテンソルカテゴリC内の内部データを用いて、Reshetikhin–Turaev TQFTの一般化されたオルビフォールドをどのように構成できるか？
• RQ2 Turaev–Viro状態和構成は、自明なReshetikhin–Turaev理論のオルビフォールドと同型であるか？
• RQ3 G-クローズド拡張のオルビフォールドデータの分類において、Morita同値性の役割は何か？
• RQ4 Cにおける可換∆-分離対称Frobenius代数は有効なオルビフォールドデータをもたらすか？ そしてそれらが導くTQFTは何か？
• RQ5 例えばvectZ2,χのような部分カテゴリからのオルビフォールドデータは、レベルkにおける完全なモジュラーテンソルカテゴリCkへどのように持ち上げられるか？

主な発見

• 任意の球面的ファイバー分類Sに対して、Turaev–Viro理論ZTV,Sは、自明なReshetikhin–Turaev理論Ztrivのオルビフォールドとして、オルビフォールドデータASを介して同型である。
• 自明な理論に対するオルビフォールド構成により、状態和モデルが一般化されたオルビフォールドとして実現され、3次元において「状態和モデルは自明な理論のオルビフォールドである」というスローガンが裏付けられた。
• 任意のリボンカテゴリCのG-クローズド拡張Bに対して、オルビフォールドデータAτが存在し、拡張のMorita同値性のもとで同型なオルビフォールドTQFTをもたらす。
• Tambara–YamagamiカテゴリT YH,χ,τにおいて、オルビフォールドデータAτは代数1⊕AHから構成され、ここでAHはHの正則代数である。オルビフォールドTQFTはτの選択にのみ依存する。
• bsl(2)kのレベルkに対応するモジュラーテンソルカテゴリCkに対して、オルビフォールド構成は、可換∆-分離Frobenius代数AE6、AE8、およびAE7に対して、元のReshetikhin–Turaev TQFTと同値なTQFTをもたらす。
• レベルk=16における代数AE7が非可換かつAzumayaでない場合、有効なオルビフォールドデータをもたらさないため、現在の枠組みには制限があることが示された。