[論文レビュー] Orbit configuration spaces associated to discrete subgroups of PSL(2,R)

Fred Cohen, Toshitake Kohno+1 more|ArXiv.org|Oct 24, 2003

Ophthalmology and Eye Disorders被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、PSL(2,R)の離散部分群に関連する軌道配置空間の基本群の下降中心系列から得られるLie代数、同様の配置空間のループ空間の高次ホモトピー群の torsionを除いたものから得られるLie代数、および曲面上の水平弦図から得られるLie代数という3つの異なるLie代数の同型を確立する。主な結果は、これらのLie代数が次数再グレーディングを除いて同型であることであり、生成子 $ B_{i,j}^{\tau} $ と、群 $ G $ でパrameter化された無限小 braid関係に従う関係式を持つ明示的な表示が与えられる。

ABSTRACT

The purpose of this article is to analyze several Lie algebras associated to "orbit configuration spaces" obtained from a group G acting freely, and properly discontinuously on the upper 1/2-plane H^2. The Lie algebra obtained from the descending central series for the associated fundamental group is shown to be isomorphic, up to a regrading, to (1) the Lie algebra obtained from the higher homotopy groups of "higher dimensional arrangements" modulo torsion, as well as (2)the Lie obtained from horizontal chord diagrams for surfaces. The resulting Lie algebras are similar to those studied in [13, 14, 15, 2, 7, 8, 6]. The structure of a related graded Poisson algebra defined below and obtained from an analogue of the infinitesimal braid relations parametrized by G is also addressed.

研究の動機と目的

• PSL(2,R)の離散部分群に関連する、異なる幾何学的および代数的構成から生じる3つの異なるLie代数の同型を確立すること。
• 上半平面における軌道配置空間の基本群の下降中心系列から得られるLie代数の構造を分析すること。
• このLie代数が $ \mathbb{H}^2 \times \mathbb{C}^q $ 内の配置空間のループ空間の高次ホモトピー群の torsionを除いたものと関係づけること。
• 得られたLie代数を曲面上の水平弦図と関連づけ、次数再グレーディングを除いて同型であることを示すこと。
• 反復ループ空間の軌道配置空間のホモロジーに、無限小 braid関係から導かれる関係を持つ、次数付きPoisson代数構造を定義し、その性質を調べること。

提案手法

• M = \mathbb{H}^2 または \mathbb{H}^2 \times \mathbb{C}^q のとき、G-軌道が互いに素であるような点のn重組の集合として、軌道配置空間 $ \mathrm{Conf}^G(M,n) $ を定義する。
• 基本群 $ \pi_1(\mathrm{Conf}^G(\mathbb{H}^2,n)) $ の下降中心系列からLie代数 $ E_0^*(P_n(S_g)^0)_q $ を構成し、2qの次数シフトを行う。
• Künneth定理とホモロジーにおける原始的要素の理論を用いて、$ \mathrm{Prim} H_*(\Omega X) $ を次数付きLie代数 $ L $ の普遍包あらわし代数 $ U[L] $ と関係づける。
• 1 \leq j < i \leq n、\sigma \in G のとき、次数2qの生成子 $ B_{i,j}^\sigma $ を定義し、関係式を用いてLie代数を提示する：(a) 離散なペアに対して消えること、(b) および (c) 嵌め込み三重対について、(d) 反対称性とJacobi恒等式。
• 写像 $ E^2: \mathrm{Conf}^G(\mathbb{H}^2 \times \mathbb{C}^q, n) \to \Omega^2 \mathrm{Conf}^G(\mathbb{H}^2 \times \mathbb{C}^{q+1}, n) $ を構成し、次数2q+1でホモロジー同型を誘導することを示し、そのループ化が $ H_{2q}(-;\mathbb{Z}) $ で同型を誘導することを示す。
• 特徴標数0の体 $ \mathbb{F} $ に対して、$ H_*(\Omega^k X; \mathbb{F}) $ にPoisson代数構造を定義し、Browder作用により誘導されるPoisson括弧 $ \lambda_{k-1} $ を用い、関係式が無限小 braid関係と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下降中心系列から得られる軌道配置空間の基本群のLie代数は、高次ホモトピー群の torsionを除いたものから得られるLie代数と同型であるか？
• RQ2 曲面上の水平弦図から得られるLie代数の構造は、軌道配置空間の基本群の下降中心系列から得られるLie代数と同型であることを示せるか？
• RQ3 反復ループ空間の軌道配置空間のホモロジーに定義される次数付きPoisson代数の正確な構造は何か？ そして、無限小 braid関係とどのように関係しているか？
• RQ4 写像 $ E^2 $ は、最初の非自明な次数でホモロジー同型を誘導するか？ また、異なる複素次元を持つ配置空間を結ぶ役割は何か？
• RQ5 生成子 $ B_{i,j}^\sigma $ 及びそれらの関係式は、軌道配置空間の位相的および群論的構造をどのように表現しているか？

主な発見

• 軌道配置空間の基本群の下降中心系列から得られるLie代数 $ E_0^*(P_n(S_g)^0)_q $ は、$ \Omega \mathrm{Conf}^G(\mathbb{H}^2 \times \mathbb{C}^q, n) $ のホモロジーにおける原始的要素のLie代数と、2qの次数再グレーディングを除いて同型である。
• $ E_0^*(P_n(S_g)^0)_q $ の普遍包あらわし代数は、$ \Omega \mathrm{Conf}^G(\mathbb{H}^2 \times \mathbb{C}^q, n) $ の完全なホモロジーと同型であり、ホモロジーがLie代数構造によって完全に決定されることを示している。
• Lie代数は、次数2qの要素 $ B_{i,j}^\sigma $ によって自由に生成され、関係式は次の通り：(a) 離散なペアに対して消えること、(b) および (c) 嵌め込み三重対 $ j < s < i $ について、(d) 標準的な次数付きLie代数の公理。
• $ H_*(\Omega^k \mathrm{Conf}^G(\mathbb{H}^2 \times \mathbb{C}^q, n); \mathbb{F}) $ に定義された次数付きPoisson代数は、次数 $ 2q+1-k $ の $ B_{i,j}^\sigma $ によって生成される自由Poisson代数と同型であり、関係式は無限小 braid関係と一致する。
• 写像 $ E^2: \mathrm{Conf}^G(\mathbb{H}^2 \times \mathbb{C}^q, n) \to \Omega^2 \mathrm{Conf}^G(\mathbb{H}^2 \times \mathbb{C}^{q+1}, n) $ は、次数2q+1でホモロジー同型を誘導し、そのループ化は $ H_{2q}(-; \mathbb{Z}) $ で同型を誘導する。
• ループ化写像 $ \Omega(E^2) $ のホモロジーにおける像は、正確に次数2qのクラスによって生成される部分代数であり、構成が配置空間の本質的なホモロジー的データを捉えていることを示している。