[論文レビュー] Orbit equivalence and sofic approximation

Ken Dykema, David Kerr+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限生成群の確率測度保存作用に対して、ソフィック近似の漸近的成長率を用いて定義される、新たな組合せ的不変量であるソフィック次元を導入する。この不変量が軌道同値性の不変量であることを証明し、可解的補間関係を伴うアーメラージュ自由積に対して加法性の公式を確立する。これにより、軌道同値理論における主要な結果、たとえばコストの公式や木構造的同値関係のソフィック性について、完全に組合せ論的な証明が得られる。

ABSTRACT

Given an ergodic probability measure preserving dynamical system $\G\acts (X,μ)$, where $\G$ is a finitely generated countable group, we show that the asymptotic growth of the number of finite models for the dynamics, in the sense of sofic approximations, is an invariant of orbit equivalence. We then prove an additivity formula for free products with amenable (possibly trivial) amalgamation. In particular, we obtain purely combinatorial proofs of several results in orbit equivalence theory.

研究の動機と目的

• ソフィック近似を用いて、確率測度保存群作用に対する新たな組合せ的不変量「ソフィック次元」を定義すること。
• この不変量が生成集合の選択に依存せず、軌道同値性のもとで不変であることの証明。
• 可解的補間を伴う同値関係のアーメラージュ自由積におけるソフィック次元の加法性の公式を確立すること。
• 古典的な軌道同値理論の結果、たとえばコストの公式や木構造的同値関係のソフィック性について、完全に組合せ論的な証明を提供すること。
• 同値関係のコストとソフィック次元との関係を明らかにし、特に、エルゴディックかつ有限生成の関係では等価であることを示すこと。

提案手法

• 有限な動的生成集合 $ F $ のソフィック次元 $ s(F) $ を、精度 $ \delta $ の下で対称群への $ \rho $-近似準同型の数の漸近的成長率として定義する。
• ソフィック近似を用いて、有限集合上の力学系の有限モデルを数え上げ、集合のサイズを大きくし、精度を高める極限をとる。
• 写像 $ \Theta $ を用いた数え上げ的議論を行い、$ \varphi \in \mathrm{SA}(F_1' \cup F_2', n, \delta, d) $ をペア $ (\varphi_1, \theta \varphi_2 \theta^{-1}) $ に写像し、共役の可換子の大きさによってそのような写像の数を上から抑え込む。
• 成長率を制御するための不等式 $ \mathrm{NSA}_G(F_1' \cup F_2', n, \delta, d_{G}d) \leq \mathrm{NSA}_G(F_1', n, \delta, d_{G}d) \cdot \mathrm{NSA}_G(F_2', n, \delta, d_{G}d) \cdot \frac{|[d_{G}d]_G|}{(d_{G}d)!} $ を確立する。
• 加法性の公式における等号を保証し、$ s(R) $ を同値関係のコストと関連付けるために、$ s $-正則性を技術的条件として用いる。
• Hjorthの定理を用いて、エルゴディックかつ有限生成の同値関係をより単純な関係の自由積に分解し、帰納法を適用して $ s(R) \geq \mathrm{cost}(R) $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的系のソフィックモデルの漸近的成長率は、軌道同値性のもとで不変か？
• RQ2 アーメラージュ自由積の同値関係に対して、ソフィック次元を用いてコストの公式を導出可能か？
• RQ3 木構造的エルゴディック同値関係のソフィック次元は、そのコストに等しいか？
• RQ4 ソフィック次元は生成集合の選択に依存せず、軌道分割の不変量か？
• RQ5 軌道同値理論の結果を証明する際に、解析的または作用素代数的道具に代えて、完全に組合せ論的議論を用いることができるか？

主な発見

• ソフィック次元 $ s(F) $ は、作用 $ \Gamma \curvearrowright (X,\mu) $ の軌道同値類の不変量であり、軌道分割にのみ依存する。
• 可解的補間関係 $ R_3 $ を伴うアーメラージュ自由積 $ R = R_1 *_{R_3} R_2 $ に対して、$ R_1, R_2 $ が $ s $-正則であるとき、$ s(R) = s(R_1) + s(R_2) - 1 + \mu(D) $ が成り立ち、ここで $ D $ は $ R_3 $ の有限成分の基本領域である。
• すべての木構造的エルゴディック pmp 同値関係は $ s $-正則であり、$ s(R) = \mathrm{cost}(R) $ を満たす。これにより、そのソフィック性についての組合せ論的証明が得られる。
• ソフィック次元 $ s(R) $ はコストによって上から抑えられ、特に木構造的関係では等号が成り立つ。これにより、そのような関係がソフィックであることが示される。
• $ R_3 $ が拡散的であっても、不等式 $ s(R) \leq s(R_1) + s(R_2) - 1 + \mu(D) $ が成り立ち、この場合 $ s(R) \leq s(R_1) + s(R_2) - 1 $ が得られる。
• 証明技法は、ソフィックモデルの数え上げと、群の可換子による適合写像の数の上界評価に依存しており、フォン・ノイマン代数の技法に依存しない。