[論文レビュー] Orbit functions of SU(n) and Chebyshev polynomials

Maryna Nesterenko, J. Patera+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、SU(n) の軌道関数と多変数チェビシェフ多項式の間の直接的対応関係を確立し、C-関数およびS-関数が、1変数の第一種および第二種チェビシェフ多項式をn−1変数に一般化することを示している。主な貢献は、最高重みとワイル群の軌道を介して、多変数の直交多項式と表現論を統一するリー理論的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

Orbit functions of a simple Lie group/Lie algebra L consist of exponential functions summed up over the Weyl group of L. They are labeled by the highest weights of irreducible finite dimensional representations of L. They are of three types: C-, S- and E-functions. Orbit functions of the Lie algebras An, or equivalently, of the Lie group SU(n+1), are considered. First, orbit functions in two different bases - one orthonormal, the other given by the simple roots of SU(n) - are written using the isomorphism of the permutation group of n elements and the Weyl group of SU(n). Secondly, it is demonstrated that there is a one-to-one correspondence between classical Chebyshev polynomials of the first and second kind, and C- and $S$-functions of the simple Lie group SU(2). It is then shown that the well-known orbit functions of SU(n) are straightforward generalizations of Chebyshev polynomials to n-1 variables. Properties of the orbit functions provide a wealth of properties of the polynomials. Finally, multivariate exponential functions are considered, and their connection with orbit functions of SU(n) is established.

研究の動機と目的

• 第一種および第二種古典的チェビシェフ多項式とSU(2)のC-およびS-軌道関数との一対一対応を確立すること。
• A_{n} のワイル群とSU(n+1) の軌道関数を用いて、チェビシェフ多項式をn−1変数に一般化すること。
• 軌道関数の性質（再帰的関係、直交性、固有関数構造など）が、多変数チェビシェフ多項式の性質に直接対応することを示すこと。
• 対称群の作用と根系を用いて、多変数軌道関数の代数的構造とその多項式表現を調査すること。
• E-関数から生じる新しい種類の多変数多項式を特定し、それらが直交多項式論における潜在的な役割を示唆すること。

提案手法

• SU(n+1) のワイル群と対称群S_{n+1}の同型性を活用し、正規直交基底および根に基づく2つの基底で軌道関数を定義すること。
• 不可約表現の最高重みラベルを用いて、ワイル群の軌道上の指数関数の和として軌道関数を表現すること。
• 第一種チェビシェフ多項式とC-関数の間、第二種多項式とS-関数を最小非自明なS-関数で割ったものとの直接的対応関係を確立すること。
• A_n の根系の構造とワイル群作用を用いて、多変数軌道関数の再帰的関係を導出すること。
• 変数変換z = e^{2πix}を適用し、軌道関数を多項式形式に変換することで、既知の多変数多項式（例：2変数におけるKoorwiderの多項式）を回復すること。
• 軌道関数の積の分解を用いて再帰的関係を導出し、表現論および重み多重度との関係を調査すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weyl群の対称性を介して、第一種および第二種古典的チェビシェフ多項式をSU(2)の軌道関数として再解釈することは可能か？
• RQ2 SU(n) の軌道関数は、1変数のチェビシェフ多項式をn−1変数にどの程度一般化するのか？その背後にある代数的構造は何か？
• RQ3 多変数軌道関数の再帰的関係は何か？また、ワイル群の組合せ論的性質とどのように関係しているか？
• RQ4 軌道関数の固有関数性質は、多変数チェビシェフ多項式のスペクトル的性質にどのように反映されるか？
• RQ5 E-関数から生じる新しい種類の多変数直交多項式は何か？それらは標準的なチェビシェフ型多項式とどのように異なるか？

主な発見

• 第一種古典的チェビシェフ多項式は、SU(2)のC-軌道関数と一対一に対応し、第二種多項式は、最小非自明なS-関数で割ったS-軌道関数と一致する。
• SU(n) の軌道関数は、1変数のチェビシェフ多項式をn−1変数に自然に一般化するものであり、同じ対称性と直交性を有する。
• A_n の多変数軌道関数の再帰的関係には、少なくともn+2項、最大で(n+1 choose ⌊(n+1)/2⌋) + 1項が含まれ、ワイル群の軌道の複雑さを反映している。
• 不可約軌道関数は、重み多重度に基づきn+1個の排他的なクラスに分解され、各多項式内の単項式は同じクラスに属する。
• 変数変換z = e^{2πix}により、軌道関数は多項式形式に変換され、Koorwiderの2変数多項式など既知の多変数多項式と一致するが、用語や導出方法には差異がある。
• E-軌道関数は、従来の古典的直交多項式論で研究されていなかった新しい種類の多変数多項式を生じさせ、標準的なチェビシェフ多項式の直交領域の2倍の領域を持つ。