[論文レビュー] Orbit inequivalent actions of non-amenable groups

Inessa Epstein|ArXiv.org|Jul 28, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 51

ひとこと要約

本稿では、自由で測度を保つ群作用に対する一般化された余帰納的構成を導入し、群Δの軌道同値関係がより大きな群Γのそれの部分集合である場合に、Δの作用をΓに移すことを可能にする。この手法を用いて、任意の可算非アーベル群が非可算（連続体濃度）の軌道同値でない自由で測度を保つエルゴディック作用をもつことを証明する。これは非アーベル群に対する軌道同値理論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Consider two free measure preserving group actions $Γ\actson (X, μ), Δ\actson (X, μ)$, and a measure preserving action $Δ\actson^a (Z, ν)$ where $(X, μ), (Z, ν)$ are standard probability spaces. We show how to construct free measure preserving actions $Γ\actson^c (Y, m)$, $Δ\actson^d (Y, m)$ on a standard probability space such that $E_Δ^d \subset E_Γ^c$ and $d$ has $a$ as a factor. This generalizes the standard notion of co-induction of actions of groups from actions of subgroups. We then use this construction to show that if $Γ$ is a countable non-amenable group, then $Γ$ admits continuum many orbit inequivalent free, measure preserving, ergodic actions on a standard probability space.

研究の動機と目的

• 群Δが空間上で作用する際、その軌道同値関係がより大きな群Γのそれの部分集合であるような場合に、群作用の標準的な余帰納的構成を一般化すること。
• 軌道同値関係と因子の間の構造的関係を保ちながら、Δの作用をΓの作用に持ち上げる構成を確立すること。
• この構成を応用して、任意の可算非アーベル群が非可算（連続体濃度）の軌道同値でない自由で測度を保つエルゴディック作用をもつことを証明すること。
• F₂の非同型な表現とガウス型作用を用いるイオアナの手法を、一般化された余帰納的枠組みに拡張すること。
• このような群の軌道同値作用の集合が、各作用に対しては可算であることを示し、したがって非可算個の異なる軌道同値類が存在することを保証すること。

提案手法

• EΔ⊆EΓ かつ Δ作用 a が (Z,ν) 上に作用するとき、新しい空間 (Y,m) 上にΓおよびΔの作用を定義する新しい構成を導入し、Ed⊆Ec かつ d が a を因数化するようにする。
• 一般化された余帰納的構成を用いて、非同型で不可約かつ弱混合なユニタリ表現から生じるF₂のガウス型作用をΓの作用に持ち上げる。
• 商写像 p_i: Y_i → T²×Z_i を構成し、Γ作用をF₂に制限したとき、その制限作用がT²上の元の作用aに同相である因子作用を持つようにする。
• 補題3.2（イオアナの定理の一般化）を適用して、二つの作用が軌道同値であるならば、それらのF₂制限は同相な不変部分集合を持つべきであることを示す。
• 可分なユニタリ表現は非同型な不可約部分表現を高々可算個しか持たないという事実を用いて、各作用が高々可算個の他の作用と軌道同値であることを示す。
• π_i ≤ κ₀^{d_i|Y_i′} および π_i の非同型性を用いて、軌道同値作用の集合が各作用に対しては可算であることを結論づけ、したがって非可算個の異なる同値類が存在することを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群Δの作用が部分群の作用に限らない場合、軌道同値関係がより大きな群Γのそれの部分集合であるような状況において、群作用の標準的余帰納的構成を一般化できるか？
• RQ2 任意の可算非アーベル群は、非可算（連続体濃度）の軌道同値でない自由で測度を保つエルゴディック作用をもつか？
• RQ3 F₂の非同型表現とガウス型作用を用いる手法を、一般化された余帰納的枠組みに適応して、非可算個の軌道同値でない作用を証明できるか？
• RQ4 ユニタリ表現および軌道同値関係にどのような構造的制約が存在し、それらが非可算個の作用が軌道同値でなくなるのを防ぐか？
• RQ5 一般化された余帰納的構成は、エルゴディシティ、自由性、測度保存性といった性質をどの程度保ち続けるか？

主な発見

• 本稿では、EΔ⊆EΓ であるとき、Δの作用をΓの作用に持ち上げる一般化された余帰納的手続きを構成し、測度およびボレル構造を保つ。
• 任意の可算非アーベル群Γに対して、一般化された余帰納的構成により、連続体濃度の軌道同値でない自由で測度を保つエルゴディック作用が得られる。
• 得られた族に属する各作用は、可分なユニタリ表現における不可約部分表現の可算スペクトルゆえに、高々可算個の他の作用と軌道同値である。
• 主な技術的ステップは、二つの作用が軌道同値であるならば、それらのF₂への制限は同相な不変部分集合を持つべきであり、これにより同型なクープマン表現が強制されるという事実に依拠している。
• 構成により、元のF₂作用aがT²上で定義されたものであるが、制限作用d_iの商として得られ、かつ表現π_iがd_iのクープマン表現に埋め込まれることが保証される。
• F₂の非同型不可約表現の集合が非可算（連続体濃度）であることと、ユニタリ表現における同型類が可算であることから、軌道同値類の数が非可算（具体的には連続体濃度）であることが導かれる。