[論文レビュー] Orbit reduction of exterior differential systems, and group-invariant variational problems

Vladimir Itskov|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、リー群の対称性をもつ外微分系（EDS）に対して、軌道還元を導入し、還元されたEDSの解が元の系の正則解のモジュライ空間に一対一に対応することを証明する。還元されたジャンクティル空間の局所特徴的コホロロジーと対称性群のリー代数コホロロジーとの間に同型が確立され、ヴィノグラドフスペクトル系列の準同型写像に由来する追加の微分作用素を含む、群不変なオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する計算アルゴリズムも提示する。

ABSTRACT

For For a given PDE system, or an exterior differential system possessing a Lie group of internal symmetries the orbit reduction procedure is introduced. It is proved that the solutions of the reduced exterior differential system are in one-to-one correspondence with the moduli space of regular solutions of the prolongation of the original system. The isomorphism between the local characteristic cohomology of the reduced unconstrained jet space and the Lie algebra cohomology of the symmetry group is established. The group-invariant Euler-Lagrange equations of an invariant variational problem are described as a composition of the Euler-Lagrange operators on the reduced jet space and certain other differential operators on the reduced jet space. The practical algorithm of computing these operators is given.

研究の動機と目的

• 有限次元リー群作用に関して不変な外微分系（EDS）に対する体系的な軌道還元手順を開発すること。
• 還元EDSの解と元の系の正則解のモジュライ空間との間の一対一対応を確立すること。
• 還元されたジャンクティル空間の局所特徴的コホロロジーと対称性群のリー代数コホロロジーとの同型を特定すること。
• 軌道還元を用いて、群不変な変分問題の不変オイラー＝ラグランジュ方程式を一般に計算するアルゴリズムを提供すること。
• オイラー＝ラグランジュ方程式を軌道空間へと押し上げる幾何学的およびコホロロジー的意味を明確にすること。

提案手法

• 軌道還元は、元のEDSのr階の延長の軌道空間上に還元EDSを構成する。これは、ジャンクティル空間へのG作用によって誘導される。
• この方法は、G不変な右移動枠の存在に依存し、これを用いてムーレル＝カルタン形式を引き戻し、接触理想における不変1形式のフィルター付き基底を構成する。
• 水平微分とヴィノグラドフスペクトル系列のエッジ複体を用いて、微分不変量の系を計算し、還元構造を定義する。
• 主な技術的道具は、不変形式のフィルター付き基底上でライブニッツ則を適用し、微分作用素 $\hat{T}_{I\alpha'}^{\alpha I'}$ を構成することである。
• 不変オイラー＝ラグランジュ方程式は、還元されたオイラー＝ラグランジュ作用素と計算された $\hat{T}$-型作用素の合成として得られ、作用素 $\hat{A}$ を形成する。
• このアルゴリズムは $\mathbb{R}^2$ 上のSE(2)作用に対して明示的に適用され、$y$, $v = \kappa_s$, およびその微分の関数として $\hat{A}$ の閉形式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G不変な外微分系を、解の対応を保ちながら、軌道空間上での等価な系に還元する方法は何か？
• RQ2 還元されたジャンクティル空間の局所特徴的コホロロジーと対称性群のリー代数コホロロジーとの間のコホロロジー的関係は何か？
• RQ3 変分問題の不変オイラー＝ラグランジュ方程式を、還元された系から体系的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ4 オイラー＝ラグランジュ方程式を軌道空間に押し上げる幾何学的意味は何か？
• RQ5 軌道還元手順を用いて、元の系の解を、還元された系の解から再構成できるか？

主な発見

• 還元EDSの解は、定理2で示されるように、元の系の正則解のモジュライ空間に一対一に対応する。
• 定理3で述べられるように、還元された制約なしジャンクティル空間の局所特徴的コホロロジーと対称性群のリー代数コホロロジーとの間に同型が確立される。
• 不変オイラー＝ラグランジュ方程式は、ヴィノグラドフスペクトル系列の準同型写像に由来する追加の微分作用素と還元されたオイラー＝ラグランジュ作用素の合成として示される。
• 微分作用素 $\hat{T}_{I\alpha'}^{\alpha I'}$ およびそれらから得られる作用素 $\hat{A}$ を計算する明示的アルゴリズムが提供され、これが不変オイラー＝ラグランジュ方程式を生成する。
• $\mathbb{R}^2$ 上のSE(2)作用の例では、$\hat{A} = \left((v_{1}+v\frac{d}{dy})^{2}+y^{2}\right)(2v_{1}+v\frac{d}{dy})-vy$ が導出され、還元されたオイラー＝ラグランジュ系は曲線のジャンクティル空間上の標準的系と一致する。
• SE(2)作用の還元された無限ジャンクティル空間は、$\mathbb{R}^2$ 内の曲線の無限ジャンクティル空間と同型であり、還元手順の整合性が確認される。