[論文レビュー] Orbital integrals and Dedekind zeta functions

Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所非アーケメデス的体 F 上の GL(n,F) における軌道積分と、グローバル体における順序のゼータ関数との間に深い関係を確立する。組合せ多項式 Mδ,r と Nδ,r を用いて軌道積分の明示的推定値を導出し、順序 R のデデキンドゼータ関数がメロモルフィックな拡張をもち、関数等式を満たすことを証明する。これは古典的結果を非最大順序へ拡張するものである。

ABSTRACT

Let F be a local non-archimedean field. We prove a formula relating orbital integrals in GL(n,F) (for the unit Hecke function) and the generating series counting ideals of a certain ring. Using this formula, we give an explicit estimate for such orbital integrals. We also derive an analogous formula for global fields, proving analytic properties of the Dedekind zeta function for orders in global fields.

研究の動機と目的

• GL(n,F) における軌道積分とグローバル体における順序のイデアルを数える生成関数を結ぶ公式を確立すること。
• 組合せ多項式を用いて、GL(n,F) 上のユニットヘッケ関数の軌道積分に対する明示的推定値を導出すること。
• グローバル体 E の順序 R に対して、完備化されたデデキンドゼータ関数 ΛR(s) が複素平面全体にメロモルフィックな拡張をもち、関数等式を満たすことを証明すること。
• 古典的なデデキンドゼータ関数の解析的性質を非最大順序へ一般化し、ソロモンおよびバッシュネル＝ライナーの結果を拡張すること。

提案手法

• 制約付きの分割の和を用いて定義される、2つの首項多項式 Mδ,r(x) と Nδ,r(x) を導入し、軌道積分を評価する。
• アフィングラスマンニアンの幾何とコキャラクタ格子の作用を用いて、順序 R のコンパクト化クラス群をグラスマンニアンの直和極限として記述する。
• 整数環 OF[[X]] 上のヒルベルトスキームの数え上げを用いて、軌道積分の評価に関連する組合せ的恒等式を導出する。
• 順序 R 及びその双対 R∨ を用いて定義される局所ゼータ関数と、コンパクト化クラス群の濃度を結ぶ重要な公式に依拠する。
• ソロモンおよびバッシュネル＝ライナーが開発した順序のゼータ関数の理論を用い、解析的接続および関数等式を証明するため、それらの結果を適応する。
• 商空間 Tγ(F)\G(F) の構造とハール測度を用いて軌道積分を定義し、最大コンパクト部分群の体積が 1 になるように正規化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則半単純元の中心化子の組合せ的不変量を用いて、GL(n,F) における軌道積分をどのように推定できるか。
• RQ2 順序 R におけるイデアルを数える生成関数と GL(n,F) における軌道積分との間の正確な関係は何か。
• RQ3 数体 E の非最大順序 R に対して、完備化されたデデキンドゼータ関数 ΛR(s) はメロモルフィックな拡張をもち、関数等式を満たすか。
• RQ4 s=0 および s=1 における ΛR(s) の留数は、クラス群データおよび R の単数群を用いて表現可能か。これは古典的ケースの一般化である。
• RQ5 局所体における順序 R のコンパクト化クラス群の幾何的構造は何か。また、それは軌道積分とどのように関係するか。

主な発見

• Mδ,r および Nδ,r が明示的に定義された首項多項式であるとき、軌道積分 Oγ は不等式 qρ(γ)∏i∈B(γ)Nδi,ri(qdi)≤Oγ≤qρ(γ)∏i∈B(γ)Mδi,ri(qdi) を満たす。
• グローバル体 E の順序 R に対して、完備化されたデデキンドゼータ関数 ΛR(s) は複素平面全体にメロモルフィックに拡張可能であり、s=0 および s=1 のみに単純極を持つ。
• s=0 および s=1 における留数は等しく、クラス群 Cl(R)、体 E の単数群、レギュレーター RegE、および分数イデアルのホモトピー類の数を含む式で与えられる。
• 関数 ΛR(s) は関数等式 ΛR(s)=ΛR(1−s) を満たし、これは古典的関数等式を非最大順序へ拡張するものである。
• 関数体の場合、コンパクト化クラス群 XR は Grassmannians Gr(kI,m) の直和極限と同型である。コキャラクタ格子の幾何的作用が存在する。
• F が局所関数体であるとき、商 Λ\XR は立方体 [0,1]^{n−1} を超平面 ∑xj=i の間のスライスに沿って貼り合わせたものとして幾何的に実現可能であり、その Fq-有理点の数は 2q²−q に一致し、PR(1) に一致する。