[論文レビュー] Orbits of coanalytic Toeplitz operators and weak hypercyclicity

Stanislav Shkarin|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間上の有界線形作用素の弱超循環性に関する新しい基準を確立し、それを用いて、その記号に特定の幾何学的・解析的条件が課されたとき、特定の共解析的トーピツ作用素が弱超循環的であることを証明する。主な結果として、単位円と交差する滑らかなジョルダン曲線で囲まれた領域上のハーディー空間における乗法作用素の弱超循環性が示され、また、記号が特定の $L^1$-対数的可積分性条件を満たす場合、共解析的トーピツ作用素の $1$-弱超循環性が成立しないことが示される。

ABSTRACT

We prove a new criterion of weak hypercyclicity of a bounded linear operator on a Banach space. Applying this criterion, we solve few open questions. Namely, we show that if $G$ is a region of $\C$ bounded by a smooth Jordan curve $Γ$ such that $G$ does not meet the unit ball but $Γ$ intersects the unit circle in a non-trivial arc, then $M^*$ is a weakly hypercyclic operator on $H^2(G)$, where $M$ is the multiplication by the argument operator $Mf(z)=zf(z)$. We also prove that if $g$ is a non-constant function from the Hardy space $H^\infty(\D)$ on the unit disk $\D$ such that $g(\D)\cap\D=\varnothing$ and the set $\{z\in\C:|z|=1,\ |g(z)|=1\}$ is a subset of the unit circle $\T$ of positive Lebesgue measure, then the coanalytic Toeplitz operator $T^*_g$ on the Hardy space $H^2(\D)$ is weakly hypercyclic. On the contrary, if $g(\D)\cap\D=\varnothing$, $|g|>1$ almost everywhere on $\T$ and $\log(|g|-1)\in L^1(\T)$, then $T^*_g$ is not 1-weakly hypercyclic and hence is not weakly hypercyclic (a bounded linear operator $T$ on a complex Banach space $X$ is called $n$-weakly hypercyclic if there is $x\in X$ such that for every surjective continuous linear operator $S:X o \C^n$, the set $\{S(T^mx):m\in\N\}$ is dense in $\C^n$). The last result is based upon lower estimates of the norms of the members of orbits of a coanalytic Toeplitz operator. Finally, we show that there is a 1-weakly hypercyclic operator on a Hilbert space, whose square is non-cyclic and prove that a Banach space operator is weakly hypercyclic if and only if it is $n$-weakly hypercyclic for every $n\in\N$.

研究の動機と目的

• 分離可能な無限次元バナッハ空間上の有界線形作用素の弱超循環性に関する新しい基準の開発。
• ハーディー空間上での共解析的トーピツ作用素の弱超循環性に関する未解決問題の解決。
• 特定の領域 $G$ に対して $H^2(G)$ 上の乗法作用素が弱超循環的となる条件の同定。
• $H^2(\mathbb{D})$ 上の共解析的トーピツ作用素 $T_g^*$ が $n$-弱超循環的であるか否かを特定する条件の同定、特に記号の絶対値と境界挙動との関係を明らかにすること。
• $n$-弱超循環性と弱超循環性の関係を明確にし、特定の循環的性質を持つ例を構成すること。

提案手法

• 作用素 $T$ に対して、より強いヒルベルトノルムを持つ $T$-不変な稠密部分空間 $F$ が存在し、$T|_F$ が等長拡張可能で、後退軌道がノルム収束するという条件に基づく、弱超循環性のための新しい基準を導入。
• 共解析的トーピツ作用素にこの基準を適用する際、$T_g^*$ との内積による内積を用いて軌道ノルムの成長を分析する。
• 複素解析の道具を用いる：フラグメン・リンデレフの原理、ドミネート収束定理、単位円上の測度の性質。
• メルゲリヤンの定理と指数型整関数の推定を用いて、特定の軌道ノルムが任意の多項式よりも速く成長することを示す。
• $F_f(z) = \langle f, T_g^{*n} f \rangle$ を整関数として解析し、$f=0$ でない限り、その関数が多項式的に有界にはなり得ないことを証明する。
• $H^2(\mathbb{D})$ の構造と $g$ のスペクトル的性質を用いて、$\log(|g|-1) \in L^1(\mathbb{T})$ である条件を導出し、非弱超循環性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号 $g$ が $g(\mathbb{D}) \cap \mathbb{D} = \varnothing$ かつ $\mathbb{T}$ 上で正の測度の集合で $|g|=1$ を満たすとき、$H^2(\mathbb{D})$ 上の共解析的トーピツ作用素 $T_g^*$ はいつ弱超循環的となるか？
• RQ2 $G$ が単位円と非自明に交差する滑らかなジョルダン曲線で囲まれており、$H^2(G)$ 上の $z$ による乗法作用素の随伴作用素はいつ弱超循環的となるか？
• RQ3 有界線形作用素が $1$-弱超循環的であるが、その平方が非循環的であることは可能か？
• RQ4 すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して、弱超循環性と $n$-弱超循環性は同値か？
• RQ5 記号 $g \in \mathbb{E}_1(\mathbb{D})$ に限らない範囲にまで、$T_g^*$ の非弱超循環性の結果が拡張可能か？

主な発見

• 領域 $G$ が単位円と非自明な弧で交差する滑らかなジョルダン曲線 $\Gamma$ で囲まれており、$G \cap \mathbb{D} = \varnothing$ であるとき、$H^2(G)$ 上の作用素 $M^*$ は弱超循環的である。
• $g \in H^\infty(\mathbb{D})$ が $g(\mathbb{D}) \cap \mathbb{D} = \varnothing$ を満たし、$\mathbb{T}$ 上で正の測度の集合で $|g|=1$ であるとき、$H^2(\mathbb{D})$ 上の $T_g^*$ は弱超循環的である。
• $g(\mathbb{D}) \cap \mathbb{D} = \varnothing$、$\mathbb{T}$ 上ほとんど everywhere で $|g| > 1$、かつ $\log(|g|-1) \in L^1(\mathbb{T})$ であるとき、$T_g^*$ は $1$-弱超循環的でない。したがって、弱超循環的でもない。
• ヒルベルト空間上に、$1$-弱超循環的であるがその平方が非循環的な作用素が存在する。
• バナッハ空間上の作用素が弱超循環的であることと、すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して $n$-弱超循環的であることとは同値である。
• 非弱超循環性の証明は、軌道ノルムが任意の多項式よりも速く成長することを示すことに依拠しており、これは関連する整関数が実軸上で多項式的に有界ではないことによって確立される。