[論文レビュー] Order determination in general vector autoregressions

Bent Nielsen|Oxford University Research Archive (ORA) (University of Oxford)|Feb 26, 2007

Spectroscopy and Chemometric Analyses被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般の自己回帰ベクトル過程（VAR）におけるラグ次数の決定手法としての尤度比検定、情報量基準、および残差に基づく検定の漸近的妥当性を、特徴方程式の根の知識や定常性の仮定なしに確立する。非定常的および爆発的過程を含む一般の条件下で、ラグ次数の推定の一貫性を示し、マーティングールの極限定理と、WeiとLaiによる自己回帰モデルにおける最小二乗推定量の強い一貫性結果の拡張を用いる。

ABSTRACT

In the application of autoregressive models the order of the model is often estimated using either a sequence of likelihood ratio tests, a likelihood based information criterion, or a residual based test. The properties of such procedures has been discussed extensively under the assumption that the characteristic roots of the autoregression are stationary. While non-stationary situations have also been considered the results in the literature depend on conditions to the characteristic roots. It is here shown that these methods for lag length determination can be used regardless of the assumption to the characteristic roots and also in the presence of deterministic terms. The proofs are based on methods developed by C. Z. Wei in his joint work with T. L. Lai.

研究の動機と目的

• 特徴方程式の根に関する知識や定常性の仮定なしに、ベクトル自己回帰（VAR）におけるラグ次数決定手法の妥当性を確立すること。
• 既存の情報量基準および尤度比検定の一貫性結果を、非定常的および爆発的過程を含む一般VARモデルに拡張すること。
• 非定常設定下でも、残差に基づく検定が尤度比検定と漸近的に同等であることを示すこと。
• 特徴方程式の根の事前特定やプロセスの定常性の仮定なしに、統一的な次数選択枠組みを提供すること。
• WeiとLaiの強い一貫性結果を、定数項やトレンドなどの決定的項を含む自己回帰モデルに一般化し、頑健なラグ次数推定を可能にすること。

提案手法

• ラグ次数kの検定にあたり、内挿モデル（kが含まれる）と外挿モデル（kが含まれない）の対数尤度の差に基づく尤度比検定統計量を用いる。
• f(T) を選択することで、根の位置に依存せず一貫性を保証する形のペナルティ付き尤度基準 Φj = log det ˆΩj + j f(T)/T を適用する。
• 残差を用いた補助回帰により、ラグ変数および説明変数に残差を回帰し、尤度比検定統計量と漸近的に同等であることを示す。
• マーティングールの極限定理と、自己回帰モデルにおける最小二乗推定量の強い一貫性に関するWeiとLaiの結果を応用する。
• 分割行列の逆行列による代数的分解を導入し、LaiとWeiの結果を定数項やトレンドなどの決定的項を含む状況に一般化する。
• 推定された創発誤差共分散行列のトレースおよび固有値解析を用いて、推定次数の一貫性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常性や特徴方程式の根の知識を仮定せず、VARにおけるラグ次数の尤度比検定を信頼して用いることができるか？
• RQ2 ペナルティ付き尤度基準（例：AIC、BIC、HQ）は、非定常的または爆発的プロセスを含む一般VARモデルにおいても次数選択に一貫性を示すか？
• RQ3 一般VARモデルにおいて、残差に基づく適合度検定は尤度比検定と漸近的に同等であるか？
• RQ4 自己回帰モデルにおける最小二乗推定量の強い一貫性は、決定的項および非定常プロセスを含む状況に拡張可能か？
• RQ5 ペナルティ関数f(T)にどのような条件を課すと、すべての種類の特徴方程式の根に対して次数推定の一貫性が保証されるか？

主な発見

• 尤度比検定統計量 LR(Ak = 0) は、特徴方程式の根の位置にかかわらず、帰無仮説 k0 < k の下で漸近的に χ² 分布に従うため、根の事前特定なしに次数決定が可能である。
• ペナルティ付き尤度推定量 ˆk は、f(T) = o(T) かつ f(T) → ∞ の条件下で弱い意味で一貫性を示し、定常的・非定常的・爆発的プロセスのすべてにわたって一貫性が保証される。
• 非定常プロセスを含む一般VARモデルにおいて、残差に基づく検定統計量は尤度比検定統計量と漸近的に同等である。
• T(ˆΩj−1 − ˆΩj) の漸近展開における主要項は Q(Yt−1) であり、Assumptions (2.1) および (2.2) と λ > 4 の下で OP(1) となるため、一貫性に必要な収束速度が保証される。
• 証明により、帰無仮説下で残差に基づく検定統計量が非退化な極限に収束することが示され、特に Q(Xt−k, ..., Xt−k−m+1|Xt−1, Dt) が T(ˆΩk−1 − ˆΩk+m−1) と漸近的に同等であることが示された。
• 定数項やトレンドなどの決定的項に関するさまざまな条件のもとで、次数推定量の一貫性が保証され、システム行列と決定的行列の間に共通固有値がない場合や、創発誤差過程に関する特定の仮定のもとでも成立する。