[論文レビュー] Order-Preserving Suffix Trees and Their Algorithmic Applications

Maxime Crochemore, Costas S. Iliopoulos+7 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Algorithms and Data Compression被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、順序同型性の下で時系列データにおける効率的なパターンマッチングと繰り返し検出を可能にするデータ構造である順序を保つサフィックス木（opSufTree）を導入する。$O(n/\log n)/\log\log n$ 時間のランダム化アルゴリズムを用いた構築法を提示し、線形時間での順序を保つパターンマッチングと、op-squares（繰り返しパターン）の効率的検出を可能にする。応用例として株価トレンドやメロディーのマッチングが挙げられる。

ABSTRACT

Recently Kubica et al. (Inf. Process. Let., 2013) and Kim et al. (submitted to Theor. Comp. Sci.) introduced order-preserving pattern matching. In this problem we are looking for consecutive substrings of the text that have the same "shape" as a given pattern. These results include a linear-time order-preserving pattern matching algorithm for polynomially-bounded alphabet and an extension of this result to pattern matching with multiple patterns. We make one step forward in the analysis and give an $O(\frac{n\log{n}}{\log\log{n}})$ time randomized algorithm constructing suffix trees in the order-preserving setting. We show a number of applications of order-preserving suffix trees to identify patterns and repetitions in time series.

研究の動機と目的

• 相対的な順序に基づいて定義されるパターン（正確な文字列一致ではなく）における、順序を保つパターンマッチングのための効率的アルゴリズムの必要性に対処すること。
• 古典的なサフィックス木の応用を順序を保つ設定に一般化し、株価や音楽スコアなどの時系列データを分析するための新しいツールを提供すること。
• 順序同型性の下で効率的なクエリ操作をサポートするデータ構造、すなわち順序を保つサフィックス木を設計すること。
• 近似的に最適な時間計算量を達成するランダム化された構築アルゴリズムを提供し、多項式的に有界なアルファベットサイズに対する従来の線形時間解法を改善すること。
• op-squares（時系列における繰り返しトレンドを表す）を含む基本的な繰り返しパターンの検出にフレームワークを拡張すること。

提案手法

• 文字列間の順序同型性を、位置ごとの相対的順序に基づいて定義する：2つの文字列が、各文字の比較関係が保存されている場合に順序同型とみなす。
• 文字列のコードを、各文字が以前の位置との相対的順序を表すペアの列 (prev_<, prev_=) として定義する。
• 入力文字列のコード列にサフィックス木を構築することで、順序を保つサフィックス木（opSufTree）を構築し、効率的な順序同型クエリを可能にする。
• コード値を明示的に格納せずにアクセスをシミュレートするために、直交範囲カウントに基づくオフライン文字オラクルを用いる。
• ColeとHariharan（またはLee、Na、Park）のフレームワークを活用し、$O(n\log n/\log\log n)$ 時間計算量のランダム化された構築アルゴリズムを設計する。
• opSufTree構造とコードに基づく比較を用いて、古典的なサフィックス木アルゴリズム（例：平方を検出するものやLCAクエリを処理するもの）を順序を保つ設定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的な順序に基づいて定義されるパターン（正確な文字列シーケンスではない）における効率的な順序を保つパターンマッチングをサポートするサフィックス木データ構造を構築できるか？
• RQ2 このようなデータ構造の最適な時間計算量は何か？ また、ランダム化アルゴリズムによって達成可能か？
• RQ3 順序を保つサフィックス木を用いて、時系列データにおける基本的な繰り返しパターン（例：op-squares）を効率的に検出できるか？
• RQ4 古典的なサフィックス木の応用（例：すべての平方の検出やLCAベースのクエリ）を、順序を保つ設定に最小限のオーバーヘッドで適応できるか？
• RQ5 コンパクトで効率的に構築可能なデータ構造を用いて、順序同型部分文字列の効率的オンラインクエリをサポートできるか？

主な発見

• 多項式的有界なアルファベットサイズに対して、従来の線形時間解法を改善する、$O(n\log n/\log\log n)$ 時間のランダム化されたアルゴリズムを用いた順序を保つサフィックス木の構築法を提示した。
• opSufTreeを用いることで、1回のクエリあたり $O(m\log n/\log\log n)$ 時間で順序を保つパターンマッチングが可能である。ここで $m$ はパターン長である。
• 与えられた順序同型パターンのすべての出現位置は、opSufTreeにおける対応するローカスの部分木を走査することで効率的に報告できる。
• opSufTreeとLCAクエリを用いて、文字列に与えられた長さのop-squaresを含むかを線形時間でチェックするアルゴリズムを提示した。
• すべてのop-squaresを報告するための $O(n\log n + \mathit{Occ})$ 時間のアルゴリズムを開発した。ここで $\mathit{Occ}$ は全出現回数の合計である。
• 鍵となる洞察は、部分文字列 $w[i..i+2k-1]$ がop-squaresであるための必要十分条件が、サフィックス $\mathit{suf}_i$ と $\mathit{suf}_{i+k}$ に対応するリーフのLCAの深さが $k$ 以上であることである、という点であり、これによりLCAデータ構造を用いた効率的な検出が可能になる。