[論文レビュー] Ordinal Approximation for Social Choice, Matching, and Facility Location Problems given Candidate Positions

Elliot Anshelevich, Wennan Zhu|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、メトリック空間における既知の施設位置を活用することで、施設配置、社会選択、マッチング問題に対する新しい順序近似アルゴリズムを導入する。エージェントの順序的選好のみが利用可能であっても、単一施設選択において総社会的費用および中央社会的費用の歪度（distortion）が3以下である。また、完全情報アルゴリズムから順序的アルゴリズムへのブラックボックス還元を提供し、歪度が1+2β以下である。

ABSTRACT

In this work we consider general facility location and social choice problems, in which sets of agents $\mathcal{A}$ and facilities $\mathcal{F}$ are located in a metric space, and our goal is to assign agents to facilities (as well as choose which facilities to open) in order to optimize the social cost. We form new algorithms to do this in the presence of only {\em ordinal information}, i.e., when the true costs or distances from the agents to the facilities are {\em unknown}, and only the ordinal preferences of the agents for the facilities are available. The main difference between our work and previous work in this area is that while we assume that only ordinal information about agent preferences in known, we know the exact locations of the possible facilities $\mathcal{F}$. Due to this extra information about the facilities, we are able to form powerful algorithms which have small {\em distortion}, i.e., perform almost as well as omniscient algorithms but use only ordinal information about agent preferences. For example, we present natural social choice mechanisms for choosing a single facility to open with distortion of at most 3 for minimizing both the total and the median social cost; this factor is provably the best possible. We analyze many general problems including matching, $k$-center, and $k$-median, and present black-box reductions from omniscient approximation algorithms with approximation factor $β$ to ordinal algorithms with approximation factor $1+2β$; doing this gives new ordinal algorithms for many important problems, and establishes a toolkit for analyzing such problems in the future.

研究の動機と目的

• エージェントの順序的選好のみが与えられるが施設位置が正確に分かっている状況において、施設配置および社会選択問題の近似アルゴリズムを設計すること。
• この部分情報設定下で、社会的費用（距離の和または中央値など）を最小化すること。
• 順序的エージェント選好と完全な施設位置データのみを用いて、歪度（アルゴリズムのコストと最適コストの最悪比）のタイトな境界を確立すること。
• 任意の完全情報β近似アルゴリズムを、歪度が1+2β以下である順序的アルゴリズムに変換するブラックボックスフレームワークを構築すること。
• 特にエージェントの基数的コストが観測不能な状況において、施設位置の知識が歪度を低減する力を持つことを調査すること。

提案手法

• メトリック空間における正確な施設位置を活用し、エージェントの選好は順序付けられるが距離は未知であるような投影問題を構築する。
• 最小限のエージェント入力（各エージェントの最良選好のみ）でも歪度が3以下となるように、投影問題のブルートフォース解法を用いる。
• 社会選択のための投票ルールを設計し、総社会的費用および中央社会的費用の両方において歪度≤3を達成する。
• ブラックボックス還元を構築：任意の完全情報β近似アルゴリズムが与えられたとき、距離コストに関して歪度が1+2β以下、施設コストに関してはβ以下の順序的アルゴリズムを構築する。
• 既知の近似アルゴリズムをオракルとして用い、主な問題（最小コストマッチング、エゴイストマッチング、k-センター、k-中央値、施設配置）にこのフレームワークを適用する。
• 下界を用いて歪度境界のタイトさを証明し、マッチング問題における決定的メカニズムに対して3の歪度下界を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エージェントの順序的選好のみが分かっているが施設位置が正確に分かっている状況で、施設配置および社会選択問題において小さな歪度を達成できるか？
• RQ2 順序的選好と既知の施設位置のもとで、単一施設選択における総社会的費用および中央社会的費用を最小化する際に、達成可能な最小歪度は何か？
• RQ3 完全情報β近似アルゴリズムを、歪度が有界な順序的アルゴリズムに体系的に変換できるか？その歪度係数はβを用いてどのように表せるか？
• RQ4 マッチング問題において、目的関数が中央辺コスト（median edge cost）である場合、順序的選好と既知の施設位置のみで低歪度を達成できるか？
• RQ5 順序近似において低歪度を達成するために、施設位置に関する最小限の情報量は何か？

主な発見

• 社会選択のための決定的メカニズムは、総社会的費用および中央社会的費用の両方において歪度が3以下であり、この境界はタイトである。
• 最小コストおよびエゴイストバイナリーマッチングにおいて、多項式時間アルゴリズムが最良選好の情報と既知の施設位置のみを用いて歪度が3以下を達成する。
• 施設配置問題において、多項式時間アルゴリズムが歪度が3.976以下を達成する。これは施設コストの1.488近似と距離コストの3.976近似を組み合わせた結果である。
• k-センター問題において、多項式時間アルゴリズムが歪度が5以下を達成する。これは投影問題の2近似を用いた結果である。
• k-中央値問題において、多項式時間アルゴリズムが歪度が6.35以下を達成する。これは完全情報ケースにおける2.675近似に基づく。
• 下界により、最小コストマッチングにおいて、順序的選好と施設位置が分かっている状況で、決定的メカニズムが3より良い歪度を達成できないことが示された。