[論文レビュー] Orthogonal-ansatz VQE: Locating excited states without modifying a cost-function

Kyle Sherbert, Marco Buongiorno Nardelli|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2022

Quantum Information and Cryptography被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コスト関数を変更せずに量子化学シミュレーションにおける励起電子状態を探索する手法、直交アンザッツVQE（OA-VQE）を提案する。直交性を内在的に保証するパラメータ化された量子回路を設計することで、基底状態とは直交するようにし、参照状態上で作用する単位的演算子を用いることで、測定のオーバーヘッドを低減しながら回路の深さを増す。エラー低減技術の進展に伴い、近い将来の量子優位性への有望な道筋を提供する。

ABSTRACT

Most literature in the Variational Quantum Eigensolver (VQE) algorithm focuses on finding the ground state of a physical system, by minimizing a quantum-computed cost-function. When excited states are required, the cost-function is usually modified to include additional terms ensuring orthogonality with the ground state. This generally requires additional quantum circuit executions and measurements, increasing algorithmic complexity. Here we present a design strategy for the variational ansatz which enforces orthogonality in candidate excited states while still fully exploring the remaining subset of Hilbert space. The result is an excited-state VQE solver which trades increasing measurement complexity for increasing circuit complexity. The latter is anticipated to become preferable as quantum error mitigation and correction become more refined. We demonstrate our approach with three distinct ansatze, beginning with a simple single-body example, before generalizing to accommodate the full Hilbert space spanned by all qubits, and a constrained Hilbert space obeying particle number conservation.

研究の動機と目的

• 変分量子アルゴリズムにおける励起状態を、コスト関数の高価な修正を伴わずに、効率的に計算する課題に対処すること。
• コスト関数における直交性の強制をアンザッツ設計に移行させることで、励起状態VQEの測定複雑度を低減すること。
• すべての状態で一貫したコスト関数を維持することで、反復的励起状態探索を可能にし、古典的最適化を簡素化すること。
• 各励起状態に対して、残りのヒルベルト空間を完全に探索しつつ直交性を維持する回路族を同定すること。
• 全量子ビット状態空間および粒子数保存を保つヒルベルト空間を含む、さまざまな量子ビットマッピングへの適用可能性を検証すること。

提案手法

• 基底状態 $\ket{z_{i<l}}$ 上で自明に作用するが、新たな直交基底状態 $\ket{z_l}$ とエンタングルするユニタリ演算子 $\hat{\Omega}_l$ の族を設計し、$\braket{\psi_0}{\psi_l} = 0$ を保証する。
• アンザッツ状態を $\ket{\psi_l} = V_l(\theta) V_0 \ket{z_l}$ と定義する。ここで $V_0$ は $\ket{z_0}$ から基底状態 $\ket{\psi_0}$ を準備し、$V_l(\theta)$ はユニタリ不変性により直交性を維持する。
• Suzuki-Trotter分解を用いて $\exp(i\pi \hat{H})$ を量子回路として実装し、順序付きパウリ指数関数の組み合わせで時間発展演算子を近似する。
• 各パウリ語 $\hat{P}_k$ に対して $\exp(i\theta \hat{P}_k/2)$ を実現するため、単一量子ビット回転と制御ゲートを用い、$X$ および $Y$ 項については基底回転を適用する。
• 3つの異なる系に回路族を適用：単体モデル、全ヒルベルト空間、粒子数保存を保つ空間。スケーラビリティを実証する。
• 構成による直交性の保証：すべての $\theta$ に対して $\braket{z_0}{V_l(\theta) \ket{z_0}} = 1$ および $\braket{z_0}{V_l(\theta) \ket{z_1}} = 0$ が成り立ち、$\braket{\psi_0}{\psi_1} = 0$ が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VQEにおけるエネルギーコスト関数を変更せずに、励起状態を特定できるか？
• RQ2 その出力が事前に得られた状態と証明可能な直交性を持つパラメータ化された量子回路を設計できるか？
• RQ3 コスト関数からアンザッツ設計に直交性の強制を移行させることで、反復的励起状態探索における測定オーバーヘッドを低減できるか？
• RQ4 アンザッツ設計による直交性の強制において、系のサイズに伴い回路の深さはどのようにスケーリングするか？
• RQ5 この手法は、粒子数保存などの対称性を持つ系へ一般化可能か？

主な発見

• OA-VQE手法は、エネルギーコスト関数を変更せずに、基底状態と証明可能な直交性を持つ励起状態を効果的に準備できる。
• この手法は、測定複雑度の低減を実現する一方で回路の深さを増すというトレードオフを示し、各エネルギー評価において元のハミルトニアンのみを測定すればよい。
• 単体系では、回路長さが $\mathcal{O}(N)$ にスケーリングするため、特定のアンザッツ族において良好なスケーラビリティを示す。
• 全ヒルベルト空間および粒子数保存を保つ部分空間の両方へ適用可能であり、広範な適用可能性を示している。
• Suzuki-Trotter分解の使用により、パウリ語の標準的ゲート分解を用いて時間発展演算子の高精度なシミュレーションが可能である。
• 一貫したコスト関数を維持することで、反復的励起状態探索が可能となり、古典的最適化が簡素化され、誤差伝搬も低減される。