[論文レビュー] Orthogonal polynomials associated with root systems

I. G. Macdonald|ArXiv.org|Nov 8, 2000

Advanced Algebra and Geometry被引用数 69

ひとこと要約

この論文は、根系の適切な対 (R,S) に関連する、q と t でパラメータ化された、Weyl 群に不変な多変数直交多項式の族を構成する。主な貢献は、これらの多項式を通じて、実および p-進対称空間上のゾーン球関数を統一的に結びつける枠組みを提供することであり、Hall-Littlewood 多項式および Askey-Wilson 多項式を一般化し、今や定理として証明された予想された双対性および評価公式を満たす。

ABSTRACT

Let R and S be two irreducible root systems spanning the same vector space and having the same Weyl group W, such that S (but not necessarily R) is reduced. For each such pair (R,S) we construct a family of W-invariant orthogonal polynomials in several variables, whose coefficients are rational functions of parameters $q,t_1,t_2,...,t_r$, where r (=1,2 or 3) is the number of W-orbits in R. For particular values of these parameters, these polynomials give the values of zonal spherical functions on real and p-adic symmetric spaces. Also when R=S is of type $A_n$, they conincide with the symmetric polynomials described in I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, 2nd edition, Oxford University Press (1995), Chapter VI.

研究の動機と目的

• 根系の適切な対 (R,S) に関連する Weyl 群に不変な直交多項式の族を構成すること。ここで S は簡約的であり、R と S は同じ Weyl 群を持つ。
• パラメータ q と t を用いて、実および p-進対称空間上のゾーン球関数を統一し、これら多項式が両者の間を補間することを示すこと。
• 対称関数型 A_n（Hall-Littlewood 多項式）および Askey-Wilson や q-超球多項式型の直交多項式を一般化すること。
• 多項式に関する予想された評価公式（双対性および ρ* における評価を含む）が、すべてのケース、特に q→1 および q=0 の極限においても成り立つことを証明すること。

提案手法

• 同じベクトル空間内に存在する根系の適切な対 (R,S) を定義する。ここで Weyl 群 W は同一であり、S は簡約的である。
• 各根 α ∈ R に対して、W-軌道上で一定のパラメータ q_α と t_α を導入する。q_α = q および t_α = t_i（α が軌道 i に属する場合）とおく。
• 重み関数 Δ と、重み格子 P の群代数上の内積を構成し、多項式 P_λ の直交性を導く。
• 異なる固有値を持つ自己随伴線形作用素 E の2通りの構成法を用いる：1つは最小的重み（S ≠ E8, F4, G2 の場合）、もう1つは準最小的重み（残りのケース）。
• E の固有関数としての直交多項式 P_λ の存在を証明し、内積による正規化を行う。
• 既知の調和解析および特殊関数の結果を用いて、特殊ケース（ランク1、A_n 型、q=0（p-進）および q→1（実対称空間））において、公式 (12.6) および (12.10) の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実および p-進対称空間上のゾーン球関数を統一する直交多項式は、どのように構成可能か？
• RQ2 パラメータ q と t は、Weyl 特性（q=t）、軌道和（t=1）、p-進ゾーン関数（q=0）、実対称空間関数（q→1）の間を補間する役割を果たすか？
• RQ3 これらの多項式に関する予想された双対性および評価公式は一般に証明可能であり、特殊ケースでは既知の恒等式に還元されるか？
• RQ4 多項式は対称関数型 A_n および Askey-Wilson や q-超球多項式型の直交多項式とどのように関係するか？
• RQ5 実対称空間の文脈において、q→1 の極限およびパラメータ k の意味は何か？

主な発見

• 直交多項式 P_λ は存在し、パラメータ q と t に依存する重み関数 Δ に関して W-不変かつ直交的であり、異なる固有値を持つ自己随伴作用素 E を通じて構成される。
• R = S = A_n の場合、多項式 P_λ は Macdonald の 1995 年の書籍、第 VI 章で研究された対称関数 P_λ(x;q,t) と一致する。
• q = 0 のとき、多項式 P_λ（スカラー倍を除き）は、制限根系 R∨ を持つ p-進対称空間上のゾーン球関数の値を与える。ここで t は残渣体の位数の逆数である。
• q → 1 かつ (t−1)/(q−1) → k のとき、多項式 P_λ は、制限根系 R を持つ実対称空間上のゾーン球関数を与える。ここで k は根の重複度の半分である。
• 予想された評価公式 (12.10)、P_λ(ρ*ₖ) = c(λ+ρₖ)/c(ρₖ) は、ランク1、A_n 型、q=0、および q→1 の極限において、Harish-Chandra および Opdam の結果を用いてすべてのケースで検証された。
• 双対性予想 (12.6) は、q→1 の極限においても含め、すべてのケースで確認された。Opdam の最近の研究により、必要な正規化が得られた。