[論文レビュー] $p$-adic Gross-Zagier formula at critical slope and a conjecture of Perrin-Riou

Kâzım Büyükboduk, Robert Pollack+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、$p$ が分裂する虚二次体において、$p$-通常の新形式 $f$ の臨界斜度 $p$-安定化について、$p$-adic Gross–Zagier 公式を確立する。$`\mathscr{A}`$-adic ファミリーと Nekovář の $p$-adic 高さペアリングを用いて、臨界斜度において $p$-adic Gross–Zagier 公式を証明し、解析的ランク1の楕円曲線における Perrin-Riou の予想を検証する。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. Given an imaginary quadratic field $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-D_K})$ where $p$ splits with $D_K>3$, and a $p$-ordinary newform $f \in S_k(Γ_0(N))$ such that $N$ verifies the Heegner hypothesis relative to $K$, we prove a $p$-adic Gross-Zagier formula for the critical slope $p$-stabilization of $f$ (assuming that it is non-$θ$-critical). In the particular case when $f=f_A$ is the newform of weight $2$ associated to an elliptic curve $A$ that has good ordinary reduction at $p$, this allows us to verify a conjecture of Perrin-Riou. The $p$-adic Gross-Zagier formula we prove has applications also towards the Birch and Swinnerton-Dyer formula for elliptic curves of analytic rank one.

研究の動機と目的

• 虚二次体において $p$ が分裂する文脈で、$p$-通常の新形式 $f$ の臨界斜度 $p$-安定化について $p$-adic Gross–Zagier 公式を確立すること。
• 解析的ランク1の楕円曲線に関する $p$-adic 高さペアリングと $p$-adic $L$-関数に関する Perrin-Riou の予想を検証すること。
• 半安定性を仮定せずに、楕円曲線の Birch と Swinnerton-Dyer 公式の $p$-部を証明すること。
• 解析的ランク1の仮定の下で、$f_A$ に関連する2つの $p$-adic $L$-関数を用いて、$A(\mathbb{Q})$ 内の無限位数の点を構成すること。

提案手法

• $\mathscr{A}$-adic サイクロトミック高さペアリングを、$(\varphi,\Gamma_{\text{cyc}})$-モジュールと Coleman ファミリー上のセレール複体を用いて構成する。
• $p$-adic ファミリーにおける普遍的 Heegner 点を定義し、明示的双対性法則を介して Beilinson-Kato クラスと関連付ける。
• この手法は、$p$-adic $L$-関数の補間と、Perrin-Riou の大きな対数写像を用いて $p$-adic $L$-値と $p$-adic 高さを関連付けることに依存する。
• 証明には、$p$-adic $L$-関数の因数分解と、Nekovář の $p$-adic 高さと楕円曲線上の $p$-adic 高さとの比較が用いられる。
• 鍵となる技術的道具は、$p$-adic $L$-関数の微分と Heegner 点の $p$-adic 高さを関連付ける $\mathscr{A}$-adic Gross–Zagier 公式である。
• 著者たちは、$p$-adic $L$-関数の微分と Nekovář の高さペアリング、および Beilinson-Kato クラスの対数との間の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚二次体において $p$ が分裂する文脈で、$p$-通常の新形式の臨界斜度 $p$-安定化について、$p$-adic Gross–Zagier 公式が成り立つかどうか。
• RQ2 解析的ランク1の楕円曲線について、Perrin-Riou が提起した $p$-adic 高さペアリングの非退化性に関する予想を検証できるか。
• RQ3 半安定性を仮定せずに、楕円曲線の Birch と Swinnerton-Dyer 公式の $p$-部が成立するか。
• RQ4 解析的ランク1の仮定の下で、$f_A$ に関連する2つの $p$-adic $L$-関数から、$A(\mathbb{Q})$ 内の無限位数の点を明示的に構成できるか。
• RQ5 臨界斜度における、$p$-adic $L$-関数の微分と Nekovář の $p$-adic 高さペアリングとの正確な関係は何か。

主な発見

• 本稿は、非-$\theta$-臨界条件の下で、$p$-通常の新形式 $f$ の臨界斜度 $p$-安定化 $f^\beta$ について、$p$-adic Gross–Zagier 公式を証明する。
• 解析的ランク1の楕円曲線 $A$ に対して、$\lambda \in \{\alpha,\beta\}$ の少なくとも1つの選び方について、$p$-adic 高さペアリング $h_{\lambda,\mathbb{Q}}^{\rm Nek}$ が非退化であることが示され、Birch と Swinnerton-Dyer 公式の重要な要素が検証される。
• Perrin-Riou の予想が検証された：$p$-adic 高さペアリングは非退化であり、$p$-adic $L$-関数の微分は Beilinson-Kato クラスの $p$-adic 高さに等しい。
• 解析的ランク1の仮定の下で、$f_A$ に関連する2つの $p$-adic $L$-関数を用いて、$A(\mathbb{Q})$ 内の無限位数の点を構成する。
• 導出された公式 $L_{p,\lambda}'(f,1) = (1 - \frac{1}{\lambda})^2 c(f) h_{\lambda,\mathbb{Q}}^{\rm Nek}(P_f, P_f)$ は、$p$-adic $L$-関数の微分と Nekovář の高さペアリングを結びつける。
• 有理数倍率 $d(f)$ は $d(f) = d^2 c(f)$ を満たし、Nekovář の高さと Beilinson-Kato クラスの対数との比が、$-(1 - 1/\alpha)(1 - 1/\beta)$ に比例することが示された。